Коэффициент подъемной силы самолета. Подъёмная сила самолета. Смотреть что такое "Подъёмная сила" в других словарях
УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ИЧАЛКОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА
Конкурс по физике
«ФИЗИКА ВОКРУГ НАС»
ФИЗИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
ПОДЪЕМНАЯ СИЛА КРЫЛА САМОЛЕТА
Яманов Виктор
МОУ «Тархановская СОШ», с. Тарханово, 9 класс
Руководитель:
Аверкин Иван Андреевич,
учитель физики и математики
МОУ «Тархановская СОШ»
Ичалковского муниципального района Республики Мордовия
2011
Введение............................................................................Подъемная сила крыла самолета.
Физический эксперимент
Аэродинамика крыла самолета
Заключение
Литература. .................................................
Введение
Почему могут летать птицы несмотря на то что они тяжелее воздуха? Какие силы поднимают огромный пассажирский самолет, который может летать быстрее, выше и дальше любой птицы, ведь крылья его неподвижны? Почему планер, не имеющий мотора, может парить в воздухе? На все эти и многие другие вопросы дает ответ аэродинамика - наука, изучающая законы взаимодействия воздуха с движущимися в нем телами.
В развитии аэродинамики у нас в стране выдающуюся роль сыграл профессор Николай Егорович Жуковский (1847 -1921) - «отец русской авиации». Заслуга Жуковского состоит в том, что он первый объяснил образование подъемной силы крыла и сформулировал теорему для вычисления этой силы. Им была решена и другая проблема теории полета - объяснена сила тяги воздушного винта.
Жуковский не только открыл законы, лежащие в основе теории полета, но и подготовил почву для бурного развития авиации в нашей стране. Он связал теоретическую аэродинамику с практикой авиации, дал возможность инженерам использовать достижения ученых-теоретиков. Под научным руководством Жуковского были организованы Аэрогидродинамический институт (сейчас ЦАГИ), ставший крупнейшим центром авиационной науки, и Военно-воздушная академия (сейчас ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского), где подготавливают высококвалифицированные инженерные кадры для авиации.
Основным приспособлением, служащим для изучения законов движения тел в воздухе, является аэродинамическая труба. Простейшая аэродинамическая труба представляет собой профилированный канал. В одном конце трубы установлен мощный вентилятор, приводимый во вращение электродвигателем. Когда вентилятор начинает работать, в канале трубы образуется воздушный поток. В современных аэродинамических трубах можно получать различные скорости воздушного потока вплоть до сверхзвуковых. В их каналах можно помещать для исследования не только модели, но и реальные самолеты .
Важнейшими законами аэродинамики являются закон сохранения массы (уравнение неразрывности) и закон сохранения энергии (уравнение Бернулли).
Рассмотрим природу возникновения подъемной силы. Опыты, проведенные в аэродинамических лабораториях, позволили установить, что при набегании на тело воздушного потока частицы воздуха обтекают тело. Картину обтекания тела воздухом легко наблюдать, если поместить тело в аэродинамической трубе в подкрашенном потоке воздуха, кроме того, ее можно сфотографировать. Полученный снимок называют спектром обтекания.
Упрощенная схема спектра обтекания плоской пластинки, поставленной под углом 90° к направлению потока, изображена на рисунке.
Почему и как возникает подъемная сила
Простейшими летательными аппаратами являются бумажные змеи, которые запускают уже несколько тысячелетий и для забавы, и для научных исследований. Изобретатель радио А. С. Попов с помощью бумажного змея поднимал проволоку (антенну) для увеличения дальности радиопередачи.
Змей представляет собой плоскую пластину, расположенную под углом α к направлению потока воздуха. Этот угол получил название угла атаки. При взаимодействии этой пластины с потоком возникает подъемная сила F n , являющаяся вертикальной составляющей силы R, действующей со стороны потока на пластину.
Механизм возникновения силы R двоякий. С одной стороны, это сила реакции, возникающая при отражении потока воздуха и равная изменению его импульса в единицу времени
С другой стороны, при обтекании пластины за ней образуются вихри, понижающие, как это следует из уравнения Бернулли, давление над пластиной.
Горизонтальная составляющая силы R является силой сопротивления давления F с . График зависимости подъемной силы и силы сопротивления от угла атаки изображен на рисунке, из которого видно, что максимальная подъемная сила достигается при угле атаки, равном 45°.
Подъемная сила крыла самолета
Уравнение Бернулли позволяет рассчитать подъемную силу крыла самолета при его полете в воздухе. Если скорость потока воздуха над крылом v 1 окажется больше скорости потока под крылом v 2 , то согласно уравнению Бернулли возникает перепад давлений:
где р 2 - давление под крылом, р 1 -давление над крылом. Подъемную силу можно рассчитать по формуле
где S - площадь поверхности крыла, v 1 - скорость потока воздуха над крылом, v 2 - скорость потока воздуха под крылом.
Возникновение подъемной силы при существовании различия в скоростях движения потока воздуха, обтекающего тело, можно продемонстрировать следующим опытом.
Закрепим модель крыла в аэродинамических весах и будем продувать воздух с помощью аэродинамической трубы или пылесоса. Чтобы найти подъемную силу, можно с помощью микроманометра измерить статическое давление воздуха над крылом р 1 и под крылом р 2 . Рассчитанное по формуле F n = =(p 2 - p 1 ) S значение подъемной силы совпадает с показаниями шкалы аэродинамических весов.
Физический эксперимент
Приборы и оборудование для эксперимента:
Вентилятор бытовой
Микроманометр
Макет крыла
Штатив
Лист бумаги
Вычисления
Р 1 = -2 мм вод. ст.
Р 2 = 1 мм вод. ст.
∆Р = Р 2 – Р 1 = 1- (-2) = 3 мм вод. ст.
∆Р = ρ gh = 1000 ∙ 10 ∙ 3 10 -3 = 30 Па
F п = Р 2 ∙ S – Р 1 ∙ S = S ∙ ∆Р = 18 ∙ 26 ∙ 10 -4 ∙ 30 = 468 ∙ 30 ∙ 10 -4 ≈
≈ 1,4 Н
Р = F Т = 0,5 Н.
Аэродинамика крыла самолета
При обтекании воздушным потоком крыла самолета верхняя и нижняя части потока воздуха из-за несимметричности формы крыла проходят различные пути и встречаются у задней кромки крыла с различными скоростями.
Это приводит к возникно вению вихря, вращение которого происходит против часовой стрелки.
Вихрь обладает определенным моментом импульса. Но поскольку в замкнутой системе момент импульса должен оставаться неизменным, вокруг крыла возникает циркуляция воздуха, направленная почасовой стрелке.
Обозначив скорость потока воздуха относительно крыла че рез и, а скорость циркуляционного потока через и, преобразуем выражение для подъемной силы крыла самолета:
где v 1 = u + v , u 2 = u - v . Тогда
Такую формулу в 1905 г. впервые получил Николай Егорович Жуковский
Н. Е. Жуковский установил профиль поперечного сечения крыла с максимальной подъемной силой и минимальной силой лобового сопротивления. Он создал также вихревую теорию винта самолета, нашел оптимальную форму лопасти винта и рассчитал силу тяги пропеллера.
Поперечное сечение крыла плоскостью, параллельной плоскости его симметрии называется «профилем». Типовой профиль крыла выглядит так:
Максимальное расстояние между крайними точками профиля – b , называется хордой профиля. Наибольшая высота профиля – c , называется толщиной профиля.
Подъемная сила крыла возникает не только за счет угла атаки, но также и благодаря тому, что поперечное сечение крыла представляет собой чаще всего несимметричный профиль с более выпуклой верхней частью.
Крыло самолета или планера, перемещаясь, рассекает воздух. Одна часть струек встречного потока воздуха пойдет под крылом, другая - над ним.
У крыла верхняя часть более выпуклая, чем нижняя, следовательно, верхним струйкам придется пройти больший путь, чем нижним. Однако количество воздуха, набегающего на крыло и стекающего с него, одинаково. Значит, верхние струйки, чтобы не отстать от нижних, должны двигаться быстрее.
Линии течения элементарных струек воздуха обозначены тонкими линиями. Профиль к линиям течения находится под углом атаки а – это угол между хордой профиля и невозмущенными линиями течения. Там, где линии течения сближаются, скорость потока возрастает, а абсолютное давление падает. И наоборот, где они становятся реже, скорость течения уменьшается, а давление возрастает. Отсюда получается, что в разных точках профиля воздух давит на крыло с разной силой.
В соответствии с уравнением Бернулли, если скорость воздушного потока под крылом меньше, чем над крылом, то давление под крылом, наоборот, будет больше, чем над ним. Эта разность давлений и создает аэродинамическую силу R,
На рисунке дано схематическое изображение спектра обтекания пластинки, поставленной под острым углом к потоку. Под пластинкой давление повышается, а над ней вследствие срыва струй получается разрежение воздуха, т. е. давление понижается. Благодаря образующейся разности давлений и возникает аэродинамическая сила. Она направлена в сторону меньшего давления, т. е. назад и вверх. Отклонение аэродинамической силы от вертикали зависит от угла, под которым пластинка поставлена к потоку. Этот угол получил название угла атаки (его принято обозначать греческой буквой а - альфа).
Заключение
Свойство плоской пластинки создавать подъемную силу, если на нее набегает под острым углом воздух (или вода), известно уже с давних времен. Примером тому служит воздушный змей и руль корабля, время изобретения которых теряется в веках.
Чем больше скорость набегающего потока, тем больше и подъемная сила и сила лобового сопротивления. Эти силы зависят, кроме того, и от формы профиля крыла, и от угла, под которым поток набегает на крыло (угол атаки), а также от плотности набегающего потока: чем больше плотность, тем больше и эти силы. Профиль крыла выбирают так, чтобы оно давало возможно большую подъемную силу при возможно меньшем лобовом сопротивлении.
Теперь мы можем объяснить, как летает самолет. Воздушный винт самолета, вращаемый двигателем, или реакция струи реактивного двигателя, сообщает самолету такую скорость, что подъемная сила крыла достигает веса самолета и даже превосходит его. Тогда самолет взлетает. При равномерном прямолинейном полете сумма всех сил, действующих на самолет, равна нулю, как и должно быть согласно первому закону Ньютона. На рис. 1 изображены силы, действующие на самолет при горизонтальном полете с постоянной скоростью. Сила тяги двигателя f равна по модулю и противоположна по направлению силе лобового сопротивления воздуха F2 для всего самолета, а сила
Рис. 1. Силы, действующие на самолет при горизонтальном равномерном полете
тяжести Р равна по модулю и противоположна по направлению подъемной силе F1.
Самолеты, рассчитанные на полет с различной скоростью, имеют различные размеры крыльев. Медленно летящие транспортные самолеты должны иметь большую площадь крыльев, так как при малой скорости подъемная сила, приходящаяся на единицу площади крыла, невелика. Скоростные же самолеты получают достаточную подъемную силу и от крыльев малой площади. Так как подъемная сила крыла уменьшается при уменьшении плотности воздуха, то для полета на большой высоте самолет должен двигаться с большей скоростью, чем вблизи земли. 
Рис. 2. Судно на подводных крыльях
Подъемная сила возникает и в том случае, когда крыло движется в воде. Это дает возможность строить суда, движущиеся на подводных крыльях. Корпус таких судов во время движения выходит из воды. Это уменьшает сопротивление воды движению судна и позволяет достичь большой скорости хода. Так как плотность воды во много раз больше, чем плотность воздуха, то можно получить достаточную подъемную силу подводного крыла при сравнительно малой его площади и умеренной скорости.
Назначение самолетного винта - это придание самолету большой скорости, при которой крыло создает подъемную силу, уравновешивающую вес самолета. С этой целью винт самолета укрепляют на горизонтальной оси. Существует тип летательных аппаратов тяжелее воздуха, для которого крылья не нужны. Это - вертолеты.
Рис 3. Схема вертолета
В вертолетах ось воздушного винта расположена вертикально и винт создает тягу, направленную вверх, которая и уравновешивает вес вертолета, заменяя подъемную силу крыла. Винт вертолета создает вертикальную тягу независимо от того, движется вертолет или нет. Поэтому при работе воздушных винтов вертолет может неподвижно висеть в воздухе или подниматься по вертикали. Для горизонтального перемещения вертолета необходимо создать тягу, направленную горизонтально. Для этого не нужно устанавливать специальный винт с горизонтальной осью, а достаточно только несколько изменить наклон лопастей вертикального винта, что выполняется при помощи специального механизма во втулке винта. http://rjstech.com/aerodinamika-i-modelirovanie/osnovy-aerodinamiki/
Опыт показывает, что при обтекании идеальной жидкостью несимметричных тел, да еще произвольно ориентированных по направлению к потоку, на эти тела будет действовать сила F , направленная под некоторым углом к потоку (см. рис. 4.18). Составляющая этой силы , параллельная потоку, является силой лобового сопротивления. Другая составляющая , направленная поперек потока, носит название подъемной силы. В качестве важнейшего примера рассмотрим возникновение подъемной силы при обтекании воздухом крыла самолета. Типичная картина безотрывного обтекания воздухом профиля крыла самолета при небольшом угле атаки изображена на рис. 4.24а. Уже из одного только факта, что поток после обтекания приобрел составляющую импульса, направленную вниз, следует, что такой же импульс вверх приобретает крыло. Для ламинарного обтекания крыла исходя из структуры линий тока можно качественно проанализировать распределение сил давления , получаемое с использованием уравнения Бернулли (рис. 4.24б). Сумма этих сил имеет равнодействующую F , направленную под небольшим углом к вертикали. Таким образом, создается подъемная сила значительно превосходящая силу лобового сопротивления.
Из диаграммы сил давления видно, что подъемная сила создается не столько повышением давления под крылом, сколько падением давления над крылом. Эта сила пропорциональна динамическому давлению, площади крыла S и вычисляется по формуле
Где С y - коэффициент подъемной силы, зависящий от угла атаки . Если бы воздух обтекал крыло безотрывно, то коэффициент С y возрастал бы пропорционально . Однако опыты показывают, что при углах атаки (в зависимости от формы крыла) подъемная сила достигает максимума, а затем начинает падать (рис. 4.25).
Угол атаки, при котором коэффициент С y максимален, называется посадочным или критическим, а соответствующий коэффициент также называется посадочным. У обычных крыльев . На рис. 4.26 представлены фотографии потоков при углах атаки и . Хорошо видно, что срыв потока и образование завихрения приводит к повышению давления над крылом и уменьшению подъемной силы.
Коэффициент определяет посадочную скорость самолета v пос, определяемую из равенства подъемной силы (4.46) весу самолета. Для снижения скорости посадки необходимо предотвратить срыв потока при увеличении угла атаки. В современной авиации этого добиваются применением на крыльях посадочных приспособлений - подкрылков (1) и закрылков (2), выдвигаемых механически из крыла (3) при посадке самолета (рис. 4.27).
Выдающаяся роль в разработке теории обтекания тел потоком, сыгравшей исключительно важное значение для развития авиации, принадлежит Н.Е. Жуковскому. Он показал, что подъемная сила крыла связана с вихрями: около крыла существует вихрь, названный им присоединенным. Основная идея расчета подъемной силы сводится к следующему. Если бы в воздухе отсутствовали силы вязкости, то картина обтекания крыла была такой, как на рис. 4.28(а). Подъемная сила, однако, будет равна нулю, поскольку поток позади крыла не изменил направления движения. Обтекание крыла реальным воздухом, изображенное на рис. 4.28(в) может рассматриваться как суперпозиция невязкого обтекания (а) и вихревого движения воздуха вокруг крыла самолета по часовой стрелке (б).
Величина подъемной силы напрямую связана с наличием циркуляции скорости Г (4.24) по контуру, охватывающему крыло самолета. Этот контур должен находиться вне пограничного слоя (б), толщина которого для движущегося с дозвуковой скоростью самолета составляет несколько сантиметров. Из закона сохранения момента импульса следует, что позади крыла должны образовываться вихри с движением в них воздуха против часовой стрелки. На рис. 4.29 представлены фотографии вихревой дорожки, образующейся при обтекании уменьшенной модели крыла самолета.
Эта цепочка вихрей появляется потому, что при отрыве от крыла одного вихря циркуляция вокруг крыла Г из-за вязкости постоянно уменьшается. Поток стремится вернуться к конфигурации (а) на рис. 4.28, при которой частицы воздуха "норовят" обогнуть "снизу-вверх" заднюю кромку крыла. А это в свою очередь приведет к образованию нового вихря и появлению циркуляции Г вокруг крыла. При полете самолета вихри периодически отрываются от крыла и уносятся потоком воздуха. Таким образом, вязкость способствует формированию обтекания крыла, соответствующего ситуации (в). Расчет же подъемной силы может быть проведен на основе результирующей сил давления, исходя из теории течения идеальной жидкости. Распределение давлений вблизи пограничного слоя связано со скоростью потока формулой:
Сила, действующая на элемент поверхности крыла длиной L равна
И зависит от разности давлений снизу и сверху элемента крыла (рис. 4.30). Эта разность давлений может быть выражена с помощью (4.47) через скорости:
Скорости v н v в берутся в симметричных точках относительно хорды крыла длиной b (наибольшего расстояния между передней и задней кромкой крыла), элемент длины в формуле (4.48) - это элемент длины хорды, поскольку сила dF направлена перпендикулярно хорде. Подставляя (4.49) в (4.47) в приближении, что v н +v в 2v и выполняя интегрирование, находим полную силу:
Эта формула получена Н.Е. Жуковским и носит его имя. Циркуляция Г, определяющая подъемную силу, пропорциональна углу атаки и для плоского крыла
Для профильного крыла, изображенного на рис. (4.30) подъемная сила существует и при нулевом угле атаки ( =0) и исчезает, когда угол атаки достигает некоторой отрицательной величины.
Отметим, что при увеличении угла атаки растет и лобовое сопротивление. Отношение полезной подъемной силы к вредной силе лобового сопротивления определяет "качество крыла". Для легких спортивных самолетов и истребителей это качество находится в пределах 12-15, а для тяжелых грузовых и пассажирских самолетов оно достигает величин 17-25. Аэродинамическое качество повышается при улучшении обтекаемости (уменьшении С x) и увеличении отношения размаха крыла L к длине его хорды b. Из диаграммы сил давления следует, что равнодействующая этих сил смещена к передней кромке крыла. Это необходимо принимать во внимание при определении моментов сил, действующих на крыло, определяющих устойчивость самолета. Весьма поучительным является опыт с тонким диском, находящимся в потоке воздуха. Если струю от вентилятора направить на диск, могущий свободно вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 4.31), то диск займет устойчивое положение, когда его плоскость станет перпендикулярна потоку воздуха. Если диск случайно повернется, и кромка К 1 диска окажется ближе к вентилятору, чем кромка К 2 , то возникнет подъемная сила, точка приложения которой будет расположена между кромкой K 1 и осью вращения диска. Момент этой силы повернет диск в исходное устойчивое положение. Отметим, что положение, при котором плоскость диска направлена по потоку, является также положением равновесия, однако это равновесие является неустойчивым.
Создание общей теории воздействия плоского потока идеальной жидкости на помещенный в него крыловой профиль является заслугой великого русского ученого Н. Е. Жуковского, опубликовавшего свою известную теорему о подъемной силе крыла в 1906 г. в классическом мемуаре "О присоединенных вихрях". Н. Е. Жуковский первый установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло, и указал на наличие простой пропорциональности между этой силой и интенсивностью вихря, "присоединенного" к обтекаемому телу.
В предыдущем параграфе уже указывалось, что решение задачи об обтекании любого профиля содержит некоторый произвол: один и тот же профиль, при заданной по величине и направлению скорости набегающего на него потока, может обтекаться бесчисленным множеством образов. Все зависит от величины циркуляции скорости, вычисленной по замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Величина этой циркуляции, так же как и природа возникновения в идеальной жидкости вихрей, сумма интенсивностей которых должна быть равна этой циркуляции, представляла долгое время неразрешимую задачу.
Физическая причина возникновения циркуляции связана с наличием трения (вязкости) в жидкости. Как уже неоднократно упоминалось ранее, в реальной жидкости, обладающей внутренним трением, частицы, проходящие в непосредственной близости к поверхности профиля, образуют тонкий пограничный слой. В этой области резко проявляется неидеальность жидкости, движение жидкости будет вихревым, причем интенсивность вихрей может достигать больших значений, так как скорость частиц в пограничном слое резко меняется от нуля на поверхности обтекаемого тела до величины порядка скорости на бесконечности на внешней границе слоя. Так, например, на крыле самолета максимальная толщина пограничного слоя не превосходит нескольких сантиметров, в то время как разность скоростей на поверхности крыла и на внешней границе пограничного слоя достигает величины 100-200 м в секунду.
При таких значительных неоднородностях скоростного поля суммарная интенсивность вихрей по всему крылу, а следовательно, и циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло, может достигать больших значений.
Теория идеальной жидкости, не учитывающая наличия трения, естественно, не могла объяснить возникновения вихрей в набегающем на трло безвихревом потоке. Для того чтобы, оставаясь в рамках теории идеального безвихревого потока, определить величину воздействия
потока на помещенное в него тело, заменим, следуя Жуковскому, контур тела замкнутой линией тока и предположим, что внутри нее происходит движение жидкости с -вихрем, имеющим ту же интенсивность, что и сумма интенсивностей вихрей, которые образовались бы на самом деле в тонком слое на поверхности тела при обтекании его реальной жидкостью. Такой вихрь Н. Е. Жуковский назвал присоединенным к рассматриваемому твердому телу. Интенсивность "присоединенного вихря", или, что то же, циркуляция скорости по контуру, окружающему крыловой профиль, могла бы быть принципиально вычислена только при помощи расчета движения реальной жидкости в пограничном слое или при помощи некоторого дополнительного допущения об общем характере обтекания тела. По последнему пути пошел, как было указано в предыдущем параграфе, С. А. Чаплыгин, предложивший свой замечательный постулат конечности скорости на задней острой кромке крыла, позволивший определить величину "наложенной" циркуляции, или, что то же, интенсивность "присоединенного вихря".
Эти две глубокие идеи великих русских аэродинамиков Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина: присоединенный вихрь и постулат конечности скорости на задней кромке крыла - легли в основу всей современной теории крыла.
Начнем с доказательства теоремы Жуковского о подъемной силе крыла в плоскопараллельном потоке. Предлагаемое ниже векторное доказательство теоремы Жуковского только по форме отличается от классического доказательства этой теоремы, данной ее автором. Применим теорему количеств движения в форме Эйлера [§ 23, формула (38)] к объему жидкости, заключенному между поверхностью обтекаемого контура С (рис. 89) и проведенной в удалении от контура С окружностью круга с центром в точке О и радиусом Пренебрегая объемными силами, будем иметь, заменяя в формуле (38) § 23,
в силу плоского характера течения, на
В этом равенстве опущен, как равный нулю, перенос количества движения сквозь твердую поверхность профиля С. Первый интеграл представляет главный вектор сил давления со стороны обтекаемого тела на жидкость. Та же величина с обратным знаком определит искомый главный вектор сил давления жидкости на тело
где нормаль, внешняя по отношению к рассматриваемому объему жидкости. Таким образом, по предыдущей формуле получим выражение искомой силы через главный вектор давлений и перенос количества движения, относящийся к контуру удаленного от профиля круга
По теореме Бернулли
причем, как мы уже знаем, постоянная, стоящая справа, имеет в случае безвихревого движения одинаковое значение во всей области течения, а следовательно, и на круге так что
Разложим вектор скорости V на два слагаемых, положив
где скорость в бесконечном удалении от профиля, скорость возмущения, вносимого профилем в однородный плоскопараллельный поток. Относительно этой убывающей до нуля с удалением от обтекаемого тела скорости возмущений будем предполагать, что ее модуль V убывает с ростом расстояния от начала координат, вблизи которого помещен профиль, как у. Это предположение соответствует наличию "присоединенного" к телу вихря и конечности Циркуляции скорости по любому замкнутому контуру, например, окружности С, длины подробнее о порядке скорости возмущения будет сказано далее.
Подставляя указанное разложение скорости в равенство (82), получим:
По предыдущему [гл. I, формула (68)], первый интеграл равен нулю; пропадает также четвертый интеграл, так как при отсутствии источников - стоков и несжимаемости жидкости полный расход жидкости сквозь контур равен нулю:
Рассмотрим совокупность второго и пятого интегралов:
которую по известной формуле разложения тройного векторного произведения можно представить как
или, заменяя V на что можно сделать, так как при этом добавится интеграл
тождественно равный нулю, получим
Таким образом, будем иметь следующее выражение для главного вектора сил давления потока на профиль С:
направлен по перпендикуляру к плоскости движения, а его проекция на этот перпендикуляр, которую мы обозначим просто через и будем считать знак входящим в определение величины окажется равной (рис. 89)
т. е. циркуляции скорости по контуру или по любому другому контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Таким образом, первое слагаемое в выражении главного вектора сил не зависит от положения контура остальные два имеют порядок так как подинтегральные функции представляют величины порядка -К а длина контура интегрирования равна Отсюда при переходе к пределу, когда окружность удаляется на бесконечность следует искомая формула
где вектор определяется как криволинейный интеграл
взятый по любому контуру охватывающему обтекаемый профиль С, в частности по самому профилю С. Величина этого вектора равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему профиль.
Из равенства (84) находим величину главного вектора сил давления потока на тело:
Главный вектор, как показывает формула (84), лежит в плоскости течения и направлен перпендикулярно к скорости на бесконечности в сторону, определяемую векторным произведением (84). Обычно бывает очень трудно заранее определить, в какую сторону направлен вектор Г: внутрь или наружу относительно плоскости чертежа. Если известно направление обхода контура, при котором это направление условно называют направлением положительной циркуляции, или, короче, "направлением циркуляции" - тогда по общим правилам принятого у нас в курсе "правого винта" легко найти и сторону, в которую направлен вектор Так, если направление циркуляции совпадает с вращением по часовой стрелке, а поток набегает слева, вектор направлен вглубь чертежа, а сила -вверх; это Же можно получить, если вектор скорости повернуть на 90° в сторону, противоположную циркуляции.
Таким образом, приходим к классической формулировке теоремы Жуковского, данной самим автором: сила давленая невихревого потока, текущего со скоростью и обтекающего контур с циркуляцией выражается формулой:
направление этой силы мы получим, если вектор повернем на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.
Первый вывод, который следует сделать из теоремы Жуковского, заключается в отсутствии составляющей силы, направленной вдоль движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела по отношению к жидкости, т. е. отсутствии силы сопротивления. Этот важный факт составляет содержание парадокса Даламбера, о котором была речь в историческом очерке, помещенном во вводной части курса. Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для любого плоского безвихревого движения идеальной жидкости как при наличии "присоединенных вихрей", так и при отсутствии их. Единственной силой, действующей на обтекаемый профиль, оказывается поперечная движению тела сила, которая может быть названа подъемной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечивает подъем аэроплана в воздух, поддерживает его крыло при горизонтальном полете.
Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковского-Чаплыгина, можно по формулам (86), (80) или (81) получить выражение величины подъемной силы в виде
Оказывается несколько завышенным. На рис. 90 представлены для сравнения теоретическая прямая и экспериментальная кривая для симметричного профиля с отношением максимальной толщины к хорде, равным Как видно из рисунка, в интервале углов атаки - (область отрицательных углов на рисунке не представлена, но она в силу симметричности профиля ничем не отличается от области положительных углов) расхождение между теоретическим коэффициентом подъемной силы пластинки и экспериментальным для тонкого профиля невелико.
Применять формулы Жуковского и Чаплыгина (86) и (87) к пластинке, строго говоря, нельзя, так как на переднем остром крае пластинки скорость обращается в бесконечность, что нарушает непрерывность обтекания. Становится непонятным, как вообще на пластинке может возникнуть сила, перпендикулярная направлению ее движения.
Действительно, при отсутствии трения нормальные к поверхности пластинки силы давления должны дать главный вектор, направленный также по перпендикуляру к плоскости пластинки, а не к скорости на бесконечности, как этого требует теорема Жуковского. При этом, наряду с подъемной силой, имелась бы и сила сопротивления. Этот парадокс был разъяснен Жуковским во второй из ранее цитированных статей. При действительном обтекании пластинки передний ее край представляет собою на самом деле некоторую поверхность очень малого радиуса кривизны, на которой возникает значительное разрежение, приводящее к направленной против течения "подсасывающей" силе, уничтожающей сопротивление.
ЛЕКЦИЯ 2. АЕРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ И ИХ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Силы, действующие на самолет . В полете на самолет действуют (рис. 1) сила тяги двигателя , полная аэродинамическая сила , сила веса . Сила тяги обычно направлена по продольной оси самолета вперед.
Рис. 1. Силы, действующие на самолет в полете
Сила веса приложена в центре тяжести и направлена по Вертикали к центру Земли. Полная аэродинамическая сила является равнодействующей сил взаимодействия между воздушной средой и поверхностью самолета. Она разлагается на три составляющие силы . Сила Y направлена перпендикулярно набегающему потоку и называется подъемной силой. Сила лобового сопротивления X направлена параллельно набегающему потоку в сторону, противоположную движению самолета. Боковая аэродинамическая сила Z направлена перпендикулярно плоскости, содержащей составляющие силы X и Y.
Сила R и ее составляющие Y, X, Z приложены в центре давления. Положение центра давления в полете изменяется и не совпадает с центром тяжести. В зависимости от расположения двигателей на самолете сила тяги Р также может не проходить через центр тяжести.
Движение самолета в воздушной среде обычно рассматривается как движение твердого тела, масса которого сосредоточена в его центре тяжести.
Профиль к линиям течения находится под углом атаки α – это угол между хордой профиля и невозмущенными линиями течения Рис. 2. Там, где линии течения сближаются, скорость потока возрастает, а абсолютное давление падает. И наоборот, где они становятся реже, скорость течения уменьшается, а давление возрастает.
Рис. 2. Профиль крыла в потоке воздуха
В разных точках профиля воздух давит на крыло с разной силой. Разницу между местным давлением у поверхности профиля и давлением воздуха в невозмущенном потоке можно представить в виде стрелочек, перпендикулярных контуру профиля, так что направление и длина стрелочек пропорциональна этой разнице. Тогда картина распределения давления по профилю будет выглядеть как показано на рисунке 3.
Рис. 3. Картина распределения давления по профилю.
На нижней образующей профиля имеется избыточное давление – подпор воздуха. На верхней же, - наоборот, разрежение. Причем оно больше там, где выше скорость обтекания. Величина разрежения на верхней поверхности в несколько раз превышает подпор на нижней.
Из картины распределения давления видно, что львиная доля подъемной силы образуется не из-за подпора на нижней образующей профиля, а из-за разряжения на верхней.
Векторная сумма всех поверхностных сил создает полную аэродинамическую силу R, с которой воздух действует на движущееся крыло Рис. 4:
Рис. 4. Подъемная сила крыла и сила его лобового сопротивления.
Разложив эту силу на вертикальную Y и горизонтальную X компоненты, мы получим подъемную силу крыла и силу его лобового сопротивления .
Распределение давления по верху профиля, имеет большой перепад давления с задней половины профиля на переднюю, то есть перепад направлен навстречу потоку обтекания. Начиная с некоторого угла атаки, этот перепад становится причиной возникновения обратного тока воздуха вдоль второй половины верхней образующей профиля Рис. 5:
Рис. 5. Возникновение вихревое обтекания с линиями обратного тока.
В точке В происходит отрыв пограничного слоя от поверхности крыла. За точкой отрыва возникает вихревое обтекание с линиями обратного тока. Происходит срыв потока.
Рис. 6. Коэффициент подъемной силы крыла с носиком разной кривизны.
Подъемную силу и силу лобового сопротивления принято рассчитывать через коэффициент подъемной силы С y и коэффициент силы лобового сопротивления: C x и )
Графическая зависимость коэффициента подъемной силы С y и коэффициента силы лобового сопротивления C x от угла атаки показана на рис. 7.
Рис. 7. Коэффициент подъемной силы и коэффициент лобового сопротивления крыла.
Аэродинамическим качеством профиля называется отношение подъемной силы к лобовому сопротивлению. Сам термин качество происходит из функции крыла – оно призвано создавать подъемную силу, а то, что при этом появляется побочный эффект – лобовое сопротивление, явление вредное. Поэтому логично отношение пользы к вреду назвать качеством. Можно построить зависимость С у от С х на графике Рис. 8.
Зависимость С y от C x в прямоугольных координатах называется полярой профиля . Длина отрезка между началом координат и любой точкой на поляре пропорциональна полной аэродинамической силе R , действующей на крыло, а тангенс угла наклона этого отрезка к горизонтальной оси равен аэродинамическому качеству К .
Поляра позволяет очень просто оценивать изменение аэродинамического качества профиля крыла. Для удобства, на кривую принято наносить реперные точки, отмечающие соответствующий угол атаки крыла. По поляре легко оценить профильное сопротивление, максимально достижимое аэродинамическое качество профиля и его другие, важные параметры.
Поляра зависит от числа Re . Свойства профиля удобно оценивать по семейству поляр, построенных в одной сетке координат для различных чисел Re . Поляры конкретных профилей получают двумя способами:
Продувками в аэродинамической трубе;
Теоретическими расчетами.