Математические методы и модели в принятии решений. Математические методы принятия решений Функции математических методов анализа и принятия решений

Эффективность в общем виде – это результативность чего-либо (производства, труда, управления и т.д.). В экономической теории различают в основном два вида эффективности – экономическую и социальную. Экономическая эффективность характеризует отношение полученного результата к затратам, социальная – степень удовлетворения спроса населения (потребителей, заказчиков) на товары и услуги. Часто их объединяют единым термином – социально-экономическая эффективность, который в наибольшей степени относится к оценке управленческих решений, так как последние направлены на состояние и поведение людей и таким образом имеют высокое социальное значение и их оценка только с позиций экономического эффекта не совсем корректна. В последние десятилетия растет необходимость оценки по многим управленческим решениям экологической эффективности, отражающей как положительное, так и отрицательное влияние их реализации на экологическую обстановку. Здесь, как правило, отражаются возможные затраты организации на устранение отрицательного воздействия на окружающую среду, штрафы и другие связанные с этим платежи или их экономия при положительном воздействии на окружающую среду.

Качество – с позиций философии – выражает совокупность существенных признаков, особенностей и свойств, которые отличают один предмет или явление от других и придают ему определенность. Качество результата труда (продукции, услуги, инвестиционного проекта, управленческого решения и т.д.) связано с понятиями "свойство" и "полезность". Свойство результата труда определяет объективные стороны без оценивания его важности для потребителя (например, технический уровень продукции, проекта); полезность – способность данного результата труда приносить пользу и удовлетворять требованиям конкретного потребителя. Отсюда, качество управленческого решения – совокупность свойств, обусловливающих его способность удовлетворять определенные потребности в соответствии с назначением. В практике деятельности организаций эффективность и качество неразрывны и взаимно обусловливают друг друга. Решение не может быть высокоэффективным, если оно имеет низкое качество и, наоборот, оно не может быть качественным, если неэффективно, т.е. эффективность – одна из характеристик качества, а качество – существенный фактор эффективности.

Эффективность и качество управленческого решения определяются всей совокупностью процессов управления, составляющих его относительно самостоятельные и взаимосвязанные в технологическом цикле этапы: разработка, принятие и реализация решений. В соответствии с этим необходимо рассматривать модификации управленческого решения – эффективности и качества теоретически найденного, принятого ЛПР и практически реализованного решения.

На этапах разработки и принятия управленческого решения его качество – это степень соответствия параметров выбранной альтернативы решения определенной системе характеристик, удовлетворяющая его разработчиков и потребителей и обеспечивающая возможность эффективной реализации. На этапе реализации качество управленческого решения выражается в его фактической эффективности, эффективности реализации.

К числу основных характеристик, определяющих качество решений, относятся: обоснованность, своевременность, непротиворечивость (согласованность), реальность, полнота содержания, полномочность (властность), эффективность.

Обоснованность решения определяется: степенью учета закономерностей функционирования и развития объекта управления, тенденциями развития экономики и общества в целом, компетентностью его разрабатывающих специалистов и ЛПР. Оно должно охватывать весь спектр вопросов, всю полноту потребностей управляемого объекта. Для этого необходимо знание особенностей, путей развития управляемой системы и внешней среды. Требуется тщательный анализ ресурсного обеспечения, научно-технических возможностей, целевых функций развития, экономических и социальных перспектив компании, региона, отрасли, национальной и мировой экономики. Всесторонняя обоснованность решений требует поиска новых форм и путей обработки научно-технической и социально-экономической информации, форм и методов менеджмента, теории и практики разработки и принятия решений, т.е. формирования передового профессионального мышления, развития его аналитико-синтетических функций. Обоснованным может быть лишь то решение, которое принято на основе достоверной, систематизированной и научно обработанной информации, что достигается использованием научных методов разработки и оптимизации решений.

Таким образом, обоснованность решения обеспечивается следующими основными факторами:

• учетом требований объективных экономических законов и закономерностей, действующего законодательства и уставных документов;
• знанием и использованием закономерностей и тенденций развития объекта управления и его внешней среды;
• наличием полной, достоверной, своевременной информации;
• наличием специальных знаний, образования и квалификации разработчиков и ЛПР;
• знанием и применением ЛПР основных рекомендаций менеджмента и теории принятия решений;
• используемыми методами анализа и синтеза ситуаций.

Нарастающая сложность и комплексность решаемых проблем и их последствий требует универсальных познаний для разработки и принятия обоснованных управленческих решений, что обусловливает все более широкое распространение коллегиальных форм принятия решений.

Обоснованность управленческих решений может достигаться выполнением следующих действий:

• определение условий для формирования допустимых вариантов;
• составление перечня показателей, характеризующих существенные свойства найденных вариантов решения, и разработка шкал для их измерения;
• отсев нерациональных вариантов и определение диапазона возможных значений каждого показателя с использованием разнообразных математических и эвристических методов;
• выявление структуры предпочтений ЛПР;
• формирование критерия или правил оценки вариантов решения;
• выбор наилучшего варианта управленческого решения или уточнение структуры предпочтений ЛПР.

Реализация этих действий не всегда гарантирует высокое качество и эффективность решений, так как выбор альтернатив существенно затрудняется следующими факторами.

• 1. Многоаспектный характер оценок эффективности альтернатив. При определении возможных вариантов решения и тем более при выборе из них наиболее целесообразного приходится производить экономическую, технико-технологическую, социальную, политическую, экологическую оценки. При этом каждая имеет несколько подходов. Например, стоимостная оценка, согласно международным, европейским и российским стандартам, использует затратный, рыночный (сравнительный) и доходный подходы, в которых используются различные методы в зависимости от объекта и задач оценки. При выборе вариантов развития открытого акционерного общества необходимо учитывать всю совокупность стейкхолдеров, так как принимаемые решения могут существенно влиять на различные группы людей, что увеличивает количество возможных оценок (как по отношению к ним, так и с их стороны). Во многих случаях необходимо учитывать изменения оценок во времени. При этом все чаще возникают проблемы учета новых типов оценок, которые характеризуют последствия принимаемого решения в разные моменты будущего.
• 2. Трудности выявления и сопоставления всех аспектов сравнения альтернатив. Существование разнородных аспектов оценки альтернатив ставит перед разработчиками и ЛПР трудные проблемы их сопоставления. Здесь следует иметь в виду, что такое сопоставление субъективно и поэтому может быть подвергнуто критике. Это усугубляется во много раз при коллегиальном принятии решений, где у каждого из членов принимающего решения коллективного органа могут быть разные меры сопоставления разнородных качеств. Одни участники разработки и принятия решений могут быть заинтересованы в основном в экономических критериях, другие – в политических, третьи – в экологических и т.д.
• 3. Субъективный характер оценок эффективности и качества альтернатив. Многие оценки эффективности и качества альтернатив можно получить либо путем построения специальных моделей, либо путем сбора и обработки экспертных заключений. Оба способа связаны с использованием субъективных оценок либо специалистов разрабатывающих модели, либо экспертов. При выборе альтернатив необходимо учитывать, что надежность подобных субъективных оценок не может быть абсолютной. Даже при полном единодушии экспертов возможна ситуация, когда их оценки окажутся неправильными. Возможно также существование различных моделей либо несовпадение оценок экспертов. Следовательно, несколько альтернатив могут иметь разные оценки, и результат выбора зависит от того, какие из них будут использованы ЛПР.

Своевременность управленческого решения означает, что принятое решение не должно ни отставать, ни опережать потребности в нем развития ситуации. Даже самое оптимальное (из целесообразных для ЛПР) решение, рассчитанное на получение наибольшей социально-экономической эффективности, может оказаться бесполезным, если будет принято поздно. Оно даже может принести определенный ущерб. Преждевременные решения не менее вредны для организации, чем запоздалые. Они не имеют условий, необходимых для реализации и развития, и могут дать импульсы для развития негативных тенденций, не способствуют решению уже "перезревших" задач и еще более усугубляют и без того болезненные процессы.

Непротиворечивость (согласованность ). Различают внутреннюю и внешнюю непротиворечивость решения. Под внутренней непротиворечивостью решений понимается соответствие целей и средств их достижения сложности решаемой проблемы и методов разработки решения, отдельных положений решения друг другу и смыслу решения в целом. Под внешней непротиворечивостью решений – их преемственность, соответствие стратегии, целям компании и ранее принятым решениям (действия, необходимые для реализации одного решения, не должны мешать выполнению других). Достижение сочетания этих двух условий и обеспечивает согласованность и непротиворечивость управленческого решения. Согласованность с принятыми ранее решениями означают также необходимость соблюдения четкой причинно-следственной связи общественного развития. Принятые ранее решения при необходимости должны отменяться или корректироваться, если они вступают в противоречия с новыми условиями деятельности управляемой системы. Появление противоречащих друг другу решений – следствие плохого познания и понимания законов общественного развития, проявления низкого уровня управленческой культуры.

Реальность. Решение должно разрабатываться и приниматься с учетом объективных возможностей организации, ее потенциала. Другими словами, материальные, финансовые, информационные и другие ресурсы, возможности организации должны быть достаточны для эффективной реализации выбранной альтернативы.

Полнота содержания решений означает, что решение должно охватывать всю совокупность параметров управляемого объекта, необходимых для обеспечения достижения целей, все сферы его деятельности, все направления развития. Содержание управленческого решения должно отражать:

• цель (совокупность целей) функционирования и развития управляемого объекта, на который направлено решение;
• ресурсы, используемые для достижения этих целей;
• основные пути и способы достижения целей, основные методы выполнения работ, определяющих реализацию целей решения;
• сроки достижения целей, начало и окончание их обеспечивающих работ;
• порядок взаимодействия между подразделениями и отдельными работниками.

Итак, управленческое решение может считаться качественным, если оно отвечает всем перечисленным выше требованиям. Причем речь идет именно о системе требований, поскольку несоблюдение хотя бы одного из них приводит к снижению качества решения и, следовательно, к потере эффективности, трудностям или даже невозможности его реализации.

Качество и эффективность управленческого решения определяются множеством факторов, действующих в течение всего технологического цикла управления или на отдельных его стадиях, имеющих внутрисистемный или внешний (влияние окружающей среды), объективный или субъективный характер. К наиболее существенным факторам относятся:

• законы объективного мира, связанные с принятием и реализацией управленческого решения;
• формулировка цели; для чего принимается управленческое решение, какие реальные результаты могут быть достигнуты, как измерить, соотнести поставленную цель и достигнутые результаты;
• объем и ценность располагаемой информации – для успешного принятия управленческого решения главным является не столько объем информации, сколько ее ценность, определяемая уровнем профессионализма, опыта, интуицией кадров;
• время разработки управленческого решения – как правило, управленческое решение всегда принимается в условиях дефицита времени и чрезвычайных обстоятельств (дефицита ресурсов, активности конкурентов, рыночной конъюнктуры, непоследовательного поведения политиков);
• организационная структура управления, определенная организационными документами (формальная) и фактически существующая (неформальная). Фактически существующая (действующая) структура управления практически в исключительных случаях совпадает с определяемой соответствующими организационными документами, в рамках которой требуется действовать всем работникам организации. Необходимость учета этого требования нередко является условием принятия не самого оптимального варианта решения;
• формы и методы управленческой деятельности, в том числе разработки и реализации управленческого решения;
• состояние управляющей и управляемой систем (психологический климат, авторитет руководителя, профессионально-квалификационный состав кадров и т.д.);
• система оценок уровня качества и эффективности управленческого решения;
• степень риска, связанная с последствиями реализации решения. Данный фактор требует применения различных методик оценки рисков (финансовых, экономических и т.д.); соответственно, руководитель должен обладать навыками выполнения такого анализа;
• средства оргтехники, включая ИВС. Применение современных информационных систем – мощный фактор активизации процесса разработки, принятия и реализации решений. Оно требует определенных знаний и навыков использования современных информационных технологий в управлении деятельностью организаций;
• субъективность оценки варианта выбора решения. Процесс принятия решения, выбор конкретного варианта имеет творческий характер и зависит от конкретной личности, ее состояния в момент принятия решения. Личностные оценки ЛПР выступают в качестве компаса, указывающего ему желательное направление, когда приходится выбирать между альтернативами действий. Каждый человек обладает своей системой ценностей, которая определяет его действия и влияет на принимаемые решения. К личностным факторам относятся:
• – психологическое состояние ЛПР в момент принятия решения. В состоянии раздражительности, загруженности другими решениями ЛПР может принять по данной ситуации одно решение, а в хорошем настроении, будучи относительно свободным – другое,
• – мера ответственности ЛПР, определяемая как внутренним чувством ответственности за свои действия, так и регламентирующими его деятельность документами,
• – уровень знаний по данному вопросу. Чем выше уровень знаний ЛПР об объекте, на который направлено решение, и его внешней среде, тем больше вероятность принятия ими качественного и эффективного решения,
• – опыт, который как основной ресурс разработки и осуществления решений является определяющим фактором адекватного восприятия реальной оценки и эффективной реакции ЛПР на происходящее, представляет собой определенный банк апробированных и адаптируемых вариантов, в котором черпаются аналоги и прообразы разрабатываемых, принимаемых и реализуемых решений,
• – интуиция, суждение (здравый смысл) и рациональность ЛПР.

Справка. Интуиция проявляется как некоторое озарение или мгновенное понимание ситуации без использования рационального мышления. Однако подобному озарению обычно предшествует долгая и кропотливая работа сознания. Сначала посредством наблюдения информация накапливается в памяти человека, систематизируется и располагается в определенном порядке. Часто таким путем приходят к целесообразному решению проблемы. Если этого не происходит, подключаются интуиция и воображение, порождающие многочисленные идеи и ассоциации. Одна из идей может вызывать интуитивное прозрение, которое как бы выталкивает соответствующую идею из подсознания в сознание. Интуиция – это мощный инструмент принятия решений, который нуждается в постоянном развитии и должен активно использоваться в управленческой деятельности.

При принятии решения ЛПР часто основывается на собственном ощущении того, что его выбор правилен. Интуиция развивается по мере приобретения опыта. В основе решений, основанных на суждении, лежат знания и осмысленный опыт прошлого. Используя их и опираясь на здравый смысл, с поправкой на сегодняшний день, выбирают тот вариант, который принес наибольший успех в аналогичной ситуации в прежнее время. Однако здравый смысл у людей, с точки зрения автора, встречается редко, поэтому данный способ принятия решений гоже не очень надежен, хотя подкупает своей быстротой и дешевизной. При таком подходе ЛПР стремится действовать преимущественно в тех направлениях, которые ему хорошо знакомы, в результате чего рискует упустить хороший результат в другой области, сознательно или бессознательно отказываясь от вторжения в нее;

Выбранный ЛПР критерий стратегии риска: оптимизма, пессимизма или безразличия. Критерий оптимизма (maximax) определяет выбор альтернативы, которая максимизирует максимальный результат для каждой альтернативы; пессимизма (maximin) – альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы; безразличия – альтернативу с максимальным средним результатом (при этом действует негласное предположение, что каждое из возможных состояний управляемой системы может наступить с равной вероятностью: в результате выбирается альтернатива, дающая максимальную величину математического ожидания).

На стадии реализации эффективность решений определяют следующие факторы:

• уровень развития и состояния управляемой системы, ее техники, технологии, персонала (кадров), организации и экономики. При высоком уровне развития всех компонентов управляемой системы при реализации решения может быть получена бо́льшая эффективность, чем предусмотренная решением, и наоборот, при низком уровне достаточно трудно обеспечить эффективность, определенную в решении;
• социально-психологический климат в реализующем решение коллективе. Основным критерием социально-психологического климата выступает уровень зрелости коллектива, под которым понимается степень совпадения индивидуальных и коллективных интересов. Чем выше уровень зрелости коллектива, тем он более управляем, что является необходимым условием его эффективной деятельности;
• авторитет руководителей, обеспечивающих реализацию решения. Чем выше авторитет руководителей, тем более управляем коллектив и, соответственно, выше уровень эффективности его деятельности;
• действенность механизма управления деятельностью коллектива, которая выражается в сущности управления как создание условий, побуждающих людей к необходимым для достижения целей действиям;
• время реализации решения. Своевременно принятое качественное и эффективное решение при несвоевременной его реализации может оказаться не только неэффективным, а ненужным;
• соответствие численности и квалификации (образования, умения и опыта) кадров объему и сложности работ по реализации решения. При численности кадров меньше необходимой для реализации решения сложно соблюсти ее сроки. При квалификации работников ниже требуемого уровня снижается качество выполнения работ и вместе с этим эффективность реализации решения;
• обеспеченность необходимыми материальными, энергетическими, трудовыми, информационными и денежными ресурсами.

Выше было показано, что эффективность решения определяется на этапах его разработки и реализации. На первом этапе она определяется по известным методикам расчета эффективности проектных решений, на втором – как правило, но методикам расчета фактической прибыли и рентабельности деятельности. В последние годы для определения эффективности стратегических решений на этапах их разработки и реализации часто используется расчет предполагаемого и фактического изменения рыночной стоимости бизнеса, результаты которого являются основой оценки и выбора стратегии организации.

Оценку эффективности управленческих решений на этапах их разработки и принятия можно производить по общеизвестным показателям оценки инвестиционных проектов:

• чистый дисконтированный (приведенный, текущий) доход (ЧДД) – NPV (Net Present Value ) – текущая стоимость денежных притоков (доходов) за вычетом стоимости денежных оттоков (инвестиционных затрат);
• внутренняя норма доходности (ВНД) – IRR (Internal Rate of Return ) – ставка дисконтирования, при которой возникает равенство текущей стоимости прогнозируемых денежных притоков (доходов) и текущей стоимости прогнозируемых инвестиционных затрат (денежных оттоков), т.е. чистый текущий доход (NPV) при этом равен нулю;
• модифицированная внутренняя норма доходности (МВНД) – MIRR (Modified Internal Rate of Return ) – показатель, характеризующий эффективность капиталовложений (инвестиций). Если текущую стоимость всех инвестиционных

вложений рассмотреть как первоначально вложенный капитал, а будущую стоимость всех денежных притоков – как наращенную сумму, то ставкой дисконтирования коэффициента наращения принимается МВНД;

• индекс рентабельности (ИР) – PI (Profitability Index ) – величина чистого (дисконтированного) денежного потока, приходящегося на единицу инвестиционных вложений;
• срок окупаемости – РР (Payback Period ) – ожидаемый период возмещения вложенных средств чистыми денежными поступлениями;
• дисконтированный срок окупаемости – DPP (Discounted Payback Period ) – предполагаемый период возмещения (равенства) текущей стоимости вложенных средств и текущей стоимости чистых денежных поступлений;
• коэффициент эффективности затрат – ARR (Accounting Rate of Return ) равен отношению прогнозной среднегодовой чистой (балансовой) прибыли к среднегодовым инвестиционным затратам.

Эти показатели широко применяются на практике, и методы их расчета признаны традиционными. В многочисленной литературе они подробно описаны, приведены примеры, иллюстрирующие их расчеты для выбора проектов (альтернатив) управленческих решений с различными исходными условиями.

Данные показатели, равно как и соответствующие им методы, используются в двух вариантах:

• для определения эффективности независимых (безальтернативных) управленческих решений (так называемая абсолютная эффективность), когда делается вывод о том, принять его или отклонить;
• для определения эффективности взаимоисключающих друг друга альтернатив решения (сравнительная эффективность), когда делается вывод о том, какую из них принять в качестве управленческого решения.

В оценке эффективности управленческих решений, как и любой другой деятельности, участвуют результаты его реализации (эффект – Эр) и затраты на его разработку, принятие и реализацию (Зр). Эффект управленческих решений проявляется в конечных результатах деятельности организации. Даже в тех случаях, когда управленческое решение направлено на изменения технико-экономических или социально-экономических показателей деятельности организации (уровня состояния и развития техники и технологии производства, номенклатуры и ассортимента продукции, качества исходного сырья, конструктивных характеристик рабочих помещений, социальной инфраструктуры и др.), эффект его реализации отражается в конечном счете в изменении уровня использования ее потенциала и удовлетворения общественных потребностей в ее продукции и услугах, т.е.

Эр = f (П, Ип, Зр, Уп)

при (П – Ип), Зр š min; Уп š max,

где П – потенциал организации; Ип – его использование; Уп – уровень удовлетворения общественных потребностей в ее продукции и услугах.

Данный подход, получивший название "ресурспо-потпенциальный ", к оценке эффективности управления деятельностью организаций, продуктом которого выступают управленческие решения и результаты их реализации, был предложен академиком АН СССР В. А. Трапезниковым, обоснован и развит профессорами Ф. М. Русиновым и В. И. Бусовым.

Развитие организации (ее потенциала, отнесенного к той или иной цели, выраженной в стремлении к максимально возможному удовлетворению определенного вида общественных потребностей) имеет ограничения, определяемые соотношением спроса и предложения на продукты и услуги, которые способна производить данная организация. Превышение результата по той или иной функции предприятия имеющихся в нем потребностей – отрицательный эффект его деятельности или неполезный результат, равносильный отходам и потерям затраченных на него ресурсов.

Вторая составляющая эффективности – затраты ресурсов на разработку, принятие и реализацию управленческого решения. Повышение уровня отдачи этих затрат (их эффективности) – важнейшая задача управления процессом разработки, принятия и реализации управленческих решений. Неправильное понимание этой задачи (особенно в части разработки и принятия решений) часто приводит на практике к сокращению этих затрат даже в ущерб эффективности управленческих решений. Это связано с тем, что основную долю затрат часто составляет заработная плата и начисления на нее и сокращение их сводится к сокращению участвующего в данном процессе персонала или уровня оплаты его труда, в результате чего ухудшаются качество управленческого решения и эффект от его реализации, мотивация персонала. Сокращение затрат на разработку, принятие и реализацию управленческих решений путем простого волюнтаристического решения влечет за собой уменьшение эффективности деятельности организации, связанное с ухудшением контроля, увеличением времени ожидания принятия решения по той или иной ситуации, ухудшением качества подготовки, выработки и принятия решений и с другими факторами, влияющими на уровень потерь ресурсов.

Оценку эффективности реализации управленческих решений можно производить по каждому крупному управленческому решению или по совокупности реализованных в определенный период времени (например, квартал, полугодие, год). Она состоит из системы показателей (рис. 3.5), включающей:

• обобщающий интегральный показатель, конкретизирующий критерий эффективности;
• обобщающие показатели, отражающие эффективность реализации групп целей, для достижения которых принято управленческое решение (научно-технических, экономических, социальных и др.);
• частные показатели, отражающие эффективность использования отдельных видов ресурсов по отдельным стадиям воспроизводственного цикла.

При определении эффективности реализации управленческого решения используется величина не потенциала ресурсов организации вообще, а ее потенциала по выполнению функций, которые охватывает данное решение. Для выявления такого состава можно использовать матрицы, приведенные в табл. 1.2–1.5.

Уровень использования потенциала определяется как разница его величины и потерь. Причем резервная часть потенциала, необходимая для устойчивого функционирования и развития любого подразделения организации, не относится к его потерям.

Рис. 3.3.

Приведенная на рис. 3.5 система показателей отражает структуру "дерева" целей повышения эффективности деятельности организации.

Эффективность управленческого решения определяется как

где Ентц и Энтц, Епц и Эпц, Есц и Эсц, Еэкц и Ээкц – эффективность и эффект управленческого решения в достижении научно-технических, производственных, социальных и экологических целей соответственно; Эi, – эффект реализации управленческого решения в t-м подразделении организации (рабочем месте подразделения); Зр – затраты на разработку и реализацию управленческого решения; п – количество подразделений, участвующих в разработке и реализации данного управленческого решения.

Эффект участия i -го подразделения организации (рабочего места) в разработке и реализации управленческого решения определяется как сумма эффектов изменений уровня использования в процессе, на который направлено данное решение, имеющегося потенциала подразделения (рабочего места) – внутренний эффект (Эв) – и результата реализации целей решения – внешний эффект (Эц), т.е.

Эi = Эв + Эц.

Внутренний эффект определяется по интенсивным (Эи) и экстенсивным факторам (Ээ), т.е.

Эв = Эи + Ээ.

Интенсивные факторы определяют обусловленные реализацией данного управленческого решения изменения производительного использования потенциала, экстенсивные – изменения непроизводительного использования потенциала и потерь ресурсов.

Схема расчета показателей эффективности управления деятельностью предприятия приведена на рис. 3.6.

Так как все ресурсы поступают на рабочие места организации и здесь используются, то уровень использования потенциала ресурсов предприятия определяется процессами на его рабочих местах. Изменение уровня производительного использования ресурсов на рабочем месте определяется разницей использования потенциальной выработки (или производительности труда) на данном рабочем месте до и после реализации данного управленческого решения, т.е.

где и Вп – потенциальная выработка на данном рабочем месте соответственно до и после реализации управленческого решения; , и Вф – фактическая выработка на данном рабочем месте соответственно до и после реализации управленческого решения.

Фактическая выработка (или производительность труда) в каком-либо производственном подразделении (заготовительном, механическом, литейном, сборочном и т.д.) определяется без особых трудностей по общепринятым методикам оценки.

Рис. 3.6.

Потенциальная и фактическая выработка на рабочем месте составляют основу определения потенциальной и фактической выработки по подразделению, функции или виду деятельности подразделения. На объем выработки на рабочем месте влияют: производительность оборудования при данной технологии работ, выполняемых на данном рабочем месте; соответствие квалификации работника уровню сложности работ; своевременность обеспечения рабочего места необходимыми материалами, инструментом, оргоснасткой, информацией и другими ресурсами; соответствие количества и качества исходных ресурсов требованиям технологии; ритмичность деятельности работника на рабочем месте. Эти факторы снижают фактическую выработку по сравнению с потенциальной.

Потенциальная выработка рабочего места (Вп(рм)) определяется объемом выработки установленного на нем оборудования при максимальном числе часов сто работы в данном периоде с учетом времени на переналадку, ремонт, наладку, т.е. по формуле

Βп(рм) = (Фр – t н) П n ,

где Фр – режимный фонд времени работы одного агрегата (строительного крана, бульдозера, бетономешалки, циклевочной машины и т.д.) на рабочем месте в месяц; t н – нормативное время на наладку и ремонт, переналадку одного агрегата; П – режимный (технологический) съем продукции с единицы оборудования (агрегата) в единицу времени; п – количество однотипных агрегатов на рабочем месте при многостаночном обслуживании.

Для рабочих мест с маломеханизированным и ручным трудом, в том числе инженерных и управленческих работников, потенциальная выработка рассчитывается по максимальной сменной выработке месяца, исходя из того, что максимальная выработка в данную смену была достигнута за счет наибольшего использования возможностей ресурсов, составляющих данное рабочее место, т.е.

Вп(рм) = Вс.max т р,

где Вс.max – максимальная сменная выработка на рабочем месте в расчетном месяце, нормо-часы; m – количество смен в расчетном месяце; р – стоимость 1 нормо-часа, руб.

Исходные данные для расчета берутся из карт учета выработки и заработной платы, которые должны заполняться в подразделениях предприятия.

Аналогичный подход можно применить для любого рабочего места, но для механизированных и автоматизированных рабочих мест Вп следует рассчитывать по производительности оборудования.

Зная потенциальный объем выработки в месяц по всем рабочим местам подразделения, можно определить потенциальный объем выработки данного подразделения. Он рассчитывается по технологической цепочке рабочих мест, образуемой системой машин, участвующих в производстве данного вида продукта, или определяемой последовательностью выполнения закрепленных за рабочими местами технологических операций производства данного вида результата деятельности подразделения.

Экстенсивное использование экономического потенциала по внутреннему эффекту процессов системы управления предприятием выражают потери и технологически необоснованные отходы ресурсов. Изменение их величины после реализации управленческого решения () по сравнению с базовым (Пр) отражает изменение внутреннего эффекта управления по экстенсивным факторам, т.е.

.

Участвующие в процессах ресурсы используются производительно и непроизводительно.

Производительное использование ресурсов также подразделяют на две части. Первая часть – это расход ресурсов, рассчитанный исходя из удельных затрат, которые признаны рациональными (технологически необходимыми). Вторая часть – это расходы ресурсов, превышающие рациональные удельные затраты. Такие затраты представляют собой потери ресурсов.

Непроизводительное использование ресурсов наблюдается в случае, когда продукция и услуги не создаются. Например, к непроизводительному использованию ресурсов относятся затраты рабочего времени работников, затраты производственной мощности оборудования и материалов на исправление брака, к потерям – прогулы, целодневные и целосменные простои, неиспользованные мощности установленного оборудования, неисправимый брак, неиспользуемые научно-технические разработки, порча материалов на складе и др.

Эффект реализации управленческого решения по достижению производственных целей определяется увеличением объема и качества продукции и услуг, соблюдением сроков их предоставления потребителю и выражается в изменении эффективности их применения у потребителей; научно-технических целей – в эффективности применения разработок предприятия в инновационных процессах; социальных целей – в экономии времени (увеличении свободного времени) и повышении общественной активности работников предприятия и потребителей продукции и услуг предприятия; экологических целей – в уменьшении отходов и увеличении объемов их утилизации, благоустройстве территории и т.д. Эффект по социальным результатам особенно важен для предприятий, производящих различные услуги населению (коммунальные, транспортные, бытовые, почтовые, общественного питания, торговли и т.д.). Эффект по экологическим результатам – для предприятий топливной, нефтехимической и химической промышленности.

Затраты на разработку и реализацию управленческого решения включают всю совокупность затрат на выполнение работ как собственными силами, так и сторонними организациями (подрядчиками), а также на приобретение необходимых материалов, оборудования и других необходимых ресурсов.

Вышеизложенный подход применим только в условиях наличия в организации необходимых исходных данных, обеспечиваемых организованной системой контроля и учета параметров процессов на рабочих местах и в подразделениях, мониторинга потребностей и потребления продукции и услуг компании.

В странах с развитой экономикой давно является хрестоматийным стоимостный подход в управлении организациями и, соответственно, в оценке эффективности управленческих решений.

Справка. На американском рынке капитала стоимостная концепция является широко распространенной на практике и единственно принимаемой в научной литературе. В мае 2010 г. компания KPMG в сотрудничестве с Государственным университетом – Высшей школой экономики (ГУ-ВШЭ) провели исследование применения российскими компаниями методов управления на основе стоимости. Оно показало высокую актуальность стоимостного управления для российских компаний в сложившейся рыночной ситуации и интерес для менеджеров, так как рост стоимости бизнеса обусловливает повышение инвестиционной привлекательности и конкурентоспособности организации.

Основная идея концепции управления стоимостью заключается в том, что главной финансовой целью организации выступает рост ее ценности (стоимости) не только для собственников (акционеров), но и для всех заинтересованных в деятельности компании юридических и физических лиц (управление стоимостью компании в интересах стейкхолдеров). Понятие "стоимость" в данной концепции управления представляет собой внутреннюю категорию, характеризующую ценность, инвестиционную привлекательность компании для собственников, и выражается в денежном индикаторе будущих возможностей роста.

Прирост стоимости – это экономический критерий, отражающий интегральный эффект влияния реализуемых в организации управленческих решений на все параметры, по которым оценивается ее деятельность (доля рынка и прочность конкурентной позиции, доходы, инвестиционные потребности, операционная эффективность, налоговое бремя, регулирование, потоки денежных средств и уровень риска), позволяющий ранжировать варианты в ситуации множественного выбора.

В системе управления стоимостью изначально заложена предпосылка, что командно-административный стиль принятия управленческих решений "сверху вниз" не приносит должных результатов, особенно в крупных многопрофильных корпорациях. Менеджерам низшего звена нужно научиться использовать стоимостные показатели для принятия более качественных и эффективных управленческих решений. Управление стоимостью требует разумного равновесия долгосрочных и краткосрочных целей деятельности. Оно, по сути, представляет собой разработку, принятие и реализацию управленческих решений, обеспечивающих непрерывную реорганизацию, направленную на достижение максимальной стоимости бизнеса.

Важным достоинством стоимостного подхода в управлении является тот факт, что он предлагает менеджменту единый и понятный критерий оценки деятельности – стоимость. Параметр прироста стоимости бизнеса является ключевым инструментом повышения качества и эффективности управленческих решений, позволяющим создать универсальную систему координат для определения вектора развития бизнеса, а также создать единую шкалу изменения достигнутых результатов в соответствии с установленной стратегией.

Процесс управления рыночной стоимостью компании использует в качестве базы доходный подход к оценке компании (бизнеса). В рамках данного подхода стоимость компании представляет собой сумму денежных потоков, которые будут созданы компанией, скорректированных с учетом факторов времени и соответствующих рисков, за вычетом всех обязательств компании.

Оценка эффективности управленческого решения данным методом предполагает сравнение двух сценариев развития организации "без разработки и реализации управленческого решения данной ситуации-проблемы" и "при условии разработки и реализации управленческого решения данной ситуации-проблемы".

Оценка стоимости организации в первом варианте сводится к прогнозу денежных потоков по предприятию в целом при условии, что ничего в нем в расчетном периоде принципиально меняться не будет. Это – дисконтированная стоимость бизнеса, которая определяется путем дисконтирования денежного потока по ставке, учитывающей имеющиеся риски организации в целом:

где PV 0 – дисконтированная стоимость организации при ее развитии без решения имеющихся ситуаций-проблем; CF 0i – ожидаемый денежный поток в периоде г; r – ставка дисконта; п – количество периодов, в течение которых организация будет генерировать денежные потоки (в годах).

Стоимость организации при сценарии реализации управленческого решения (стратегическая стоимость) определяется путем дисконтирования скорректированного на проект денежного потока по скорректированной ставке, учитывающей как риск организации в целом, так и риски управленческого решения. Она будет равна остаточной текущей стоимости ожидаемых потоков организации при условии осуществления управленческого решения, т.е. денежные потоки организации по двум сценариям ее развития совмещаются:

где PV C – стратегическая стоимость организации; CF c – стратегический денежный поток организации; CF pi – денежный поток, создаваемый реализацией управленческого решения.

Применение метода рынка капитала и сделок для оценки прироста стоимости предприятия за счет реализации управленческого решения основывается на информации о компании-аналоге, реализующей аналогичное решение. При этом аналогичность решений определяется следующими факторами:

• максимальная схожесть решаемых ситуаций в сопоставляемых организациях;
• общая отраслевая (функциональная) принадлежность сопоставляемых ситуаций;
• использование сходных ресурсов;
• сопоставимость масштаба ситуаций и радикальности изменений в результате реализации управленческого решения.

Для определения прироста стоимости, созданной в результате реализации управленческого решения, методом рынка капитала используются рыночные коэффициенты компании-аналога до и после реализации ею решения аналогичной ситуации, т.е.

где ΔCV – увеличение рыночной стоимости оцениваемой компании вследствие реализации управленческого решения; Е ок – текущая прибыль оцениваемой компании; – отношение "цена/прибыль" для аналогичной компании после реализациирешения аналогичной ситуации; – отношение "цена/прибыль" для аналогичной компании до реализации решения аналогичной ситуации.

Метод сделок отличается от метода рынка капитала тем, что коэффициент "цена/прибыль" по компании-аналогу (компаниям-аналогам) рассчитывают, принимая во внимание лишь цены на акции компании-аналога (компаний-аналогов), которые наблюдались в ближайшем прошлом по фактическим сделкам купли-продажи крупных пакетов или при соответствующей котировке акций. При этом крупными пакетами считаются те, покупка которых дает возможность приобрести как минимум участие в контроле над компанией посредством введения в ее совет директоров своего представителя (или самого себя), что позволяет контролировать менеджмент компании. Отсюда, найти компанию-аналог, реализующую управленческое решение по аналогичной ситуации, информация по которой имеется в открытом доступе, – задача крайне сложная и порой просто неосуществимая. На практике это значительно затрудняет или делает невозможным применение методов рынка капитала и сделок для оценки эффективности управленческих решений.

Особенности применения математической теории при принятии управленческих решений

Замечание 1

Методы, которые основы на использовании средств математики, позволяют принимать управленческие решения , поддающиеся формализации или полному описанию взаимосвязи и взаимозависимости их условий, факторов и результатов.

Использование математической теории характерно для принятия тактических и частично оперативных решений.

Применение математической теории эффективно при наличии ряда параметров управленческого решения:

• заранее четко известна цель или критерий оптимизации;
• очевидны главные ограничения - условия достижения данной цели;
• управленческая проблема хорошо структурирована.

Алгоритм математической теории

Особенность математической теории обоснования управленческих решений заключается в наличие в ней определенного алгоритма, который точно предписывает выполнять некую систему операций в установленной последовательности для решения определенного класса задач.

Алгоритм математической теории принятия управленческих решений должен соответствовать ряду требований:

• определенность, т.е. точность и однозначность, не оставляющие места для произвола;
• массовость и универсальность - применимость для решения конкретного класса задач, когда первоначальные данные варьируются в известных границах;
• результативность, т.е. возможность решения установленной задачи за ограниченное число операции.

Математические методы принятия управленческих решений

Основными методами решения типовых управленческих задач в рамках математической теории являются:

1. Метод математического анализа используется при расчетах для обоснования потребностей в ресурсах, учете себестоимости, разработки проектов и т. д.
2. Метод математической статистики удобно использовать, когда изменение исследуемых показателей является случайным процессом.
3. Эконометрический метод предполагает использование экономической модели - схематического представления экономического процесса или явления.
4. Линейное программирование - решение системы уравнений, когда имеется строго функциональная зависимость между исследуемыми явлениями.
5. Динамическое программирование используется для решения оптимизационных задач, где ограничения или целевая функция имеют нелинейную зависимость.
6. Теория очередей используется для поиска оптимального количества каналов обслуживания при заданном уровне потребности в них. Примером такой ситуации является выбор оптимального варианта организации работы с клиентами, чтобы время обслуживания было минимально, а качество – высоко без дополнительных затрат.
7. Метод исследования операций - использование математических вероятностных моделей, которые представляют исследуемый процесс, вид деятельности или систему. Оптимизация сводится к сравнительному исследованию числовых оценок тех параметров, которые нельзя оценить обычными методами.
8. Ситуационный анализ – это комплексная технология принятия и реализации управленческого решения, которая основана на проведении анализа отдельной управленческой ситуации. Такой анализ отталкивается от конкретной ситуации, проблемы, возникающей в деятельности организации, которая требует принятия управленческого решения.
9. Методы теории игр - моделирование ситуации, в которой при обосновании решений необходимо учитывать конфликт или несовпадение интересов различных лиц.
10. Точки безубыточности - метод, в котором общие доходы уравниваются с суммарными расходами для поиска точки, приносящей предприятию минимальную прибыль.
11. Проецирование тренда - анализ временных рядов, основанный на допущении, что произошедшее в прошлом дает хорошее приближение в случае оценке будущего. Этот метод используется для выявления тенденций прошлого и их продления на будущее.

Из различных методов принятия экономических решений можно выделить наиболее распространенные: математическое программирование; теория игр; теория статистических решений; теория массового обслуживания; метод причинно-следственного анализа; использование модели

Математическое программирование представляет собой теоретические принципы и аналитические методы решения задач, в которых происходит поиск экстремума (минимум или максимум) определенной функции при наличии ограничений, налагаемых на неизвестные. Особое место в математическом программировании занимает линейное программирование, которое наиболее разработанное и широко применяется на практике. Линейное программирование включает аналитические методы решения таких задач, в которых целевая функция и ограничения выражены в линейной форме, то есть неизвестные входящих в целевой функции и ограничения должны первая ступень. Задачи, в которых отыскиваются максимальное и минимальное значение линейной функции при линейных ограничениях, называются задачами линейного программирования.

В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений методы математического программирования делят на

линейное программирование - целевая функция и функции ограничений, входящих в систему ограничений являются линейными (уравнение первого порядка)

нелинейное программирование - целевая функция или одна из функций ограничений, входящих в систему ограничений являются нелинейными (уравнение высших порядков)

Целочисленное (дискретное) программирования - если хотя бы одну переменную наложен условие целочисленности;

динамическое программирование - если параметры целевой функции и / или система ограничений меняются во времени или целевая функция имеет аддитивный / мулиишгикативний вид или сам процесс принятия решения масс многошаговый характер.

В зависимости от сведения информация о процессе заранее, в методы математического программирования делят на

Стохастическое программирование - известна не вся информация о процессе заранее: параметры входящих в целевую функцию или в функцию ограничений являются случайными или приходится принимать решения в условиях риска

Детерминировано программирования - известна вся информация о процессе заранее.

В зависимости от количества целевых функций задачи делятся на:

Однокритериальной;

Багатокритериапьни.

Линейное программирование объединяет теорию и методы решения класса задач, в которых определяется совокупность значений переменных величин, которые удовлетворяют заданным линейным ограничением и максимизируя (или минимизирующая) некоторую линейную функцию. То есть, задачами линейного программирования являются такие оптимизационные задачи, в которых целевая функция и функциональные ограничения - линейные функции, принимают любые значения из некоторого множества значений.

Для задач линейного программирования разработаны многочисленные методы решения и соответствующее математическое обеспечение для различных ситуаций. Для решения задач линейного программирования используется несколько методов, среди которых наиболее распространенными являются симплекс-метод и графический метод.

Наиболее удобный метод для решения подобных задач является симплекс метод, который позволяет отталкиваясь от исходного варианта решения задач, за определенное количество шагов получить оптимальный вариант. Каждый из этих шагов (итераций) заключается в нахождении нового варианта, которому соответствует наибольшее (при решении задач на максимум) или меньше (при решении задач на минимум) значения линейной функции, чем значение этой же функции в предыдущем варианте. Процесс повторяется пока не будет получено оптимальный вариант решения, которое имеет экстремальное значение.

Таким образом, можно считать, что оптимальным является план, который обеспечивает максимальный производственной эффект при заданном объеме материальных, сырьевых, трудовых ресурсов. Максимальный производственный эффект определяется критерием оптимизации, который и определяет целевую функцию.

Наиболее типичными задачами, для решения которых используют симплекс-метод, являются: оптимальное планирование на предприятиях (планирование ассортиментного выпуска продукции), оптимальный набор исходного сырья, эффективное использование сырьевых, материальных, трудовых, финансовых и энергетических ресурсов, задачи оптимизации организации производства (транспортная задача).

Оптимизация производственной программы (ассортиментные задачи) на предприятиях представляют собой группу задач, в которых определяют производственную программу с учетом влияния на предприятия внутренних факторов (возможностей оборудования, лимитов сырья, трудовых факторов) и некоторых внешних требований (спрос по товарной продукции в целом или отдельных ии ассортиментных групп и видов, средней цены ассортимента, который выпускается и т.д.).

Основные этапы постановки и решения задачи оптимизации производственной программы:

1) построение экономико-математической модели: сбор информации, подготовка ее для построения модели; выбор критерия оптимизации; выбор ограничений и построение их в общем виде; аналитический и табличный вид модели с реальными коэффициентами;

2) нахождение оптимального решения задачи;

3) анализ результатов решения и практические рекомендации.

В оптимальном плане выпуска продукции выбор критериев оптимизации осуществляется в соответствии с целью решения задачи. Критерием оптимизации могут быть разные стоимостные и натуральные показатели. Кроме функции цели, в модели используются ограничения, так как ресурсы, которыми располагает предприятие, в большинстве случаев ограничены, а также ассортиментный выпуск должен рассчитываться с учетом спроса на продукцию. Ограничения избираются в зависимости от ресурсов, которые используются для выпуска производственной программы предприятия.

Эффективность задачи и оптимальность полученного ассортимента оценивается с помощью систем экономических показателей (изменение объемов производства продукции в натуральном и стоимостном выражении, снижение затрат на производство продукции, увеличение прибыли и рентабельности, уменьшение затрат на 1 руб., Использование сырья и т.д.).

Теория игр изучает количественные закономерности в конфликтных ситуациях. Основной целью теории игр является выработка или количественное обоснование рекомендаций по выбору наиболее рационального решения в конфликтных ситуациях. В экономических исследованиях конфликтными ситуациями называются такие ситуации, когда возникает необходимость выбора рационального решения из двух или более взаимоисключающих вариантов.

Теория статистических решений, которая использует методы изучения процессов и явлений, которые очень подвергаются воздействию случайных, неопределенных факторов, в основе данной теории составляет теория вероятности.

Теория массового обслуживания, изучает закономерности процессов массового обслуживания и на их основе разрабатывает эффективные методы управления системами обслуживания. Методы теории массового обслуживания позволяют рационально организовать процесс обслуживания и обеспечить наиболее эффективное функционирование системы массового обслуживания (сокращение времени ожидания обслуживания, снижение затрат на обслуживание). Основу теории массового обслуживания составляют теория вероятности и математическая статистика.

Дерево принятия решений (также могут называться деревьями классификаций или регрессионного деревьями) - используется в области статистики и анализа данных для прогнозных моделей. Структура дерева содержит следующие элементы: "листья" и "ветви". На ребрах («ветвях») дерева принятия решения записаны атрибуты, от которых зависит целевая функция, в "письме" записаны значения целевой функции, а в других узлах - атрибуты, по которым различаются случаи. Чтобы классифицировать новый случай, надо спуститься по дереву до листа и выдать соответствующее значение. Подобные деревья решений широко используются в интеллектуальном анализе данных. Цель состоит в том, чтобы создать модель, которая прогнозирует значение целевой переменной на основе нескольких переменных на входе.

Каждый лист представляет собой значение целевой переменной, измененной в ходе движения от корня по листу. Каждый внутренний узел соответствует одной из входных переменных. Дерево может быть также "изучено" разделением выходных наборов переменных на подмножества, основанные на тестировании значений атрибутов. Это процесс, который повторяется на каждом из полученных подмножеств. Рекурсия завершается тогда, когда подмножество в узле имеет те же значения целевой переменной, таким образом, оно не добавляет ценности для предсказаний. Процесс, идущий "сверху вниз", индукция деревьев решений (TDIDT), является примером поглощающего "жадного" алгоритма, и на сегодняшний день является наиболее распространенной стратегией деревьев решений для данных, но это не единственная возможная стратегия. В интеллектуальном анализе данных, деревья решений могут быть использованы в качестве математических и вычислительных методов, чтобы помочь описать, классифицировать и обобщить набор данных, которые могут быть записаны следующим образом:

Зависимая переменная Y является целевой переменной, которую необходимо проанализировать, классифицировать и обобщить. Вектор х состоит из входных переменных Х1, x2, х3 и т.д., которые используются для выполнения этой задачи.

В анализе решений "дерево решений" используются как визуальный и аналитический инструмент поддержки принятия решений, где рассчитываются ожидаемые значения (или ожидаемая полезность) конкурирующих альтернатив.

Дерево решений состоит из трех типов узлов.

1. Узлы решение - обычно представлены квадратами.

2. Вероятностные узлы - представляются в виде круга.

3. Замыкающие узлы - представляются в виде треугольника.

На рис. 4.1, представленном ниже, дерево решений следует читать слева направо. Дерево решений не может содержать в себе циклические элементы, то есть каждый новый лист впоследствии может только расщепляться, отсутствуют сходятся пути. Таким образом, при конструировании дерева вручную, мы можем столкнуться с проблемой его размерности, поэтому, как правило, дерево решения мы можем получить с помощью специализированных программ. Обычно дерево решений представляется в виде символической схемы, благодаря которой его проще воспринимать и анализировать.

Рис. 4.1. дерево решений

Деревья решений, используемые в Data Mining, бывают двух основных тылов:

Анализ дерева классификации, когда прогнозируемый результат является классом, к которому относятся данные;

Регрессивный анализ дерева, когда прогнозируемый результат можно рассматривать как действительное число (например, цена на дом, или продолжительность пребывания пациента в больнице).

Упомянутые выше сроки впервые были использованы Брейман и др. Перечисленные типы имеют некоторые сходства, а также некоторые различия, такие, как процедура, используемая для определения, где разбивать. Некоторые методы позволяют построить более одного дерева решений:

Дерево решений "мешок", наиболее раннее дерево решений, строит несколько деревьев решений, неоднократно интерполирующая данные с заменой, и деревья голосований для прогноза консенсуса Случайный классификатор "лесной" использует ряд деревьев решений, с целью улучшения ставки классификации;

"Повышенные" дерева могут быть использованы для регрессивного типа и классификации типа проблем.

"Вращение леса» - деревья, в которых каждое дерево решений анализируется первым применением метода главных компонент (РСА) на случайные подмножества входных функций.

Общая схема построения дерева принятия решений по тестовым примерам выглядит следующим образом (по алгоритму рис. 4.2):

Рис. 4.2. Алгоритм построения дерева решений

Основной вопрос: как выбирать очередной атрибут? Есть разные способы выбирать очередной атрибут:

Алгоритм IDЗ, где выбор атрибута происходит на основании прироста информации (англ. Gain), или на основании коэффициент Джини.

Алгоритм С4.5 (улучшенная версия ID3), где выбор атрибута происходит на основании нормализованного прироста информации (англ. Gain Ratio).

Алгоритм CART и его модификации - IndCART, DB-CART.

Автоматический детектор взаимодействия Хи-квадрат (сил). Выполняет многоуровневый разделение при расчете классификации деревьев.

MARS: расширяет дерева решений для улучшения обработки цифровых данных.

На практике в результате работы этих алгоритмов часто получаются слишком детализированы дерева, которые при их дальнейшем применении дают много ошибок. Это связано с явлением переобучения. Для сокращения деревьев используется отсечение ветвей (англ. Pruning).

Регулировка глубины дерева - это техника, которая позволяет уменьшать размер дерева решений, удаляя участки дерева, которые имеют небольшой вес.

Один из вопросов, который возникает в алгоритме дерева решений - это оптимальный размер конечного дерева. Так, небольшое дерево может не охватить ту или иную важную информацию о выборочном пространства. Тем не менее, трудно сказать, когда алгоритм должен остановиться, потому что невозможно спрогнозировать, добавление которого узла позволит значительно уменьшить ошибку. Эта проблема известна как "эффект горизонта". Тем не менее, общая стратегия ограничения дерева сохраняется, то есть удаление узлов реализуется в том случае, если они не дают дополнительной информации.

Необходимо отметить, что регулирование глубины дерева должно уменьшить размер учебной модели дерева без уменьшения точности ее прогноза или с помощью перекрестной проверки. Есть много методов регулирования глубины дерева, которые отличаются измерением оптимизации производительности.

Сокращение дерева может осуществляться сверху вниз или снизу вверх. Сверху вниз - обрезка начинается с корня, снизу вверх - сокращается число листьев дерева. Один из самых простых методов регулирования - уменьшение ошибки ограничения дерева. Начиная с листьев, каждый узел заменяется на самый популярный класс. Если точность предсказания не влияет, то изменение сохраняется.

При принятии решений менеджер может использовать один из приведенных выше методов. Лучшие решения принимаются группой. Эффективность групповых решений во многом зависит от руководителя. С учетом умений, характера и настроения руководителя, его педагогических способностей, внимания к людям и других качеств психологи выделяют пять типов руководителей: диктатор, демократ, пессимист, организатор и манипулятор.

Метод, основанный на научно-практическом подходе, требует использования современных технических средств и прежде всего электронно вычислительной техники.

В целом проблема выбора руководителем решения - одна из важнейших в современной науке и практике управления.

Современная теория измерений и экспертные оценки. Какпроводить анализ собранных рабочей группой ответов экспертов? Для более углубленного рассмотрения проблем экспертных оценок понадобятся некоторые понятия так называемой репрезентативной теории измерений (глава 2.1), служащей основой теории экспертных оценок, прежде всего той ее части, которая связана с анализом заключений экспертов, выраженных в качественном (а не в количественном) виде.

Репрезентативная (т.е. связанная с представлением отношений между реальными объектами в виде отношений между числами) теория измерений (в дальнейшем сокращенно РТИ) является одной из составных частей эконометрики . А именно, она входит в состав статистики объектов нечисловой природы . Нас РТИ интересует прежде всего в связи с развитием теории и практики экспертного оценивания, в частности, в связи с агрегированием мнений экспертов, построением обобщенных показателей (их называют также рейтингами).

Получаемые от экспертов мнения часто выражены в порядковой шкале , т.е. эксперт может сказать (и обосновать), что один тип продукции будет более привлекателен для потребителей. Чем другой, одинпоказатель качества продукции более важен, чем другой, первый технологический объект более опасен, чем второй, и т.д. Но он не в состоянии сказать, во сколько раз или на сколько более важен, соответственно, более опасен. Поэтому экспертов часто просят дать ранжировку (упорядочение) объектов экспертизы, т.е. расположить их в порядке возрастания (или, точнее, неубывания) интенсивности интересующей организаторов экспертизы характеристики.

Ранг - это номер (объекта экспертизы) в упорядоченном ряду. Формально ранги выражаются числами 1, 2, 3, ..., но весьма важно то, что с этими числами нельзя делать привычные арифметические операции. Например, хотя 2 + 3 = 5, но нельзя утверждать, что для объекта, стоящем на третьем месте в упорядочении (в другой терминологии - ранжировке), интенсивность изучаемой характеристики равна сумме интенсивностей объектов с рангами 1 и 2. Так, один из видов экспертного оценивания - оценки учащихся. Вряд ли кто-либо будет всерьез утверждать, что знания отличника равны сумме знаний двоечника и троечника (хотя 5 = 2 + 3), хорошист соответствует двум двоечникам (2 + 2 = 4), а между отличником и троечником такая же разница, как между хорошистом и двоечником (5 - 3 = 4 - 2). Поэтому очевидно, что для анализа подобного рода качественных данных необходима не обычная арифметика, а другая теория, дающая базу для разработки, изучения и применения конкретных методов расчета. Эта другая теория и есть РТИ. Основы РТИ рассмотрены в главе 2.1.

Рассмотрим в качестве примера применения результатов теории измерений, связанных со средними величинами в порядковой шкале, один сюжет, связанный с ранжировками и рейтингами.

Методы средних баллов. В настоящее время распространены экспертные, маркетинговые, квалиметрические, социологические и иные опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы объектам, изделиям, технологическим процессам, предприятиям, проектам, заявкам на выполнение научно-исследовательских работ, идеям, проблемам, программам, политикам и т.п. Затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные (т.е. обобщенные, итоговые) оценки, выставленные коллективом опрошенных экспертов. Какими формулами пользоваться для вычисления средних величин? Ведь средних величин существует, как мы знаем, очень много разных видов.

Обычно применяют среднее арифметическое . Специалисты по теории измерений уже около 30 лет знают, что такой способ некорректен , поскольку баллы обычно измерены в порядковой шкале (см. выше). Обоснованным является использование медиан в качестве средних баллов. Однако полностью игнорировать средние арифметические нецелесообразно из-за их привычности и распространенности . Поэтому представляется рациональным использовать одновременно оба метода - и метод средних арифметических рангов (баллов), и методов медианных рангов. Такая рекомендация находится в согласии с общенаучной концепцией устойчивости , рекомендующей применять различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах. Такие выводы, видимо, соответствуют реальной действительности, в то время как заключения, меняющиеся от метода к методу, зависят от субъективизма исследователя, выбирающего метод обработки исходных экспертных оценок.

Пример сравнения восьми проектов. Рассмотрим конкретный пример применения только что сформулированного подхода.

По заданию руководства фирмы анализировались восемь проектов, предлагаемых для включения в план стратегического развития фирмы. Они обозначены следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, Сол, Стеф, К (по фамилиям менеджеров, предложивших их для рассмотрения). Все проекты были направлены 12 экспертам, включенным в экспертную комиссию, организованную по решению Правления фирмы. В приведенной ниже табл.1 приведены ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с представлением экспертов о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы. При этом эксперт присваивает ранг 1 самому лучшему проекту, который обязательно надо реализовать. Ранг 2 получает от эксперта второй по привлекательности проект, ... , наконец, ранг 8 - наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь.

Таблица 1.

Ранги 8 проектов по степени привлекательности

для включения в план стратегического развития фирмы

№ эксперта

Примечание. Эксперт № 4 считает, что проекты М-К и Б равноценны, но уступают лишь одному проекту - проекту Сол. Поэтому проекты М-К и Б должны были бы стоять на втором и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл (2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5.

Анализируя результаты работы экспертов (т.е. упомянутую таблицу), члены аналитической подразделения Рабочей группы, анализировавшие ответы экспертов по заданию Правления фирмы, были вынуждены констатировать, что полного согласия между экспертами нет, а потому данные, приведенные в таблице, следует подвергнуть более тщательному математическому анализу.

Метод средних арифметических рангов. Сначала для получения группового мнения экспертов был применен метод средних арифметических рангов. Для этого прежде всего была подсчитана сумма рангов, присвоенных проектам (см. табл. 1). Затем эта сумма была разделена на число экспертов, в результате рассчитан средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу). По средним рангам строится итоговая ранжировка (в другой терминологии - упорядочение), исходя из принципа - чем меньше средний ранг, чем лучше проект. Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта Б, - следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Следующая по величине сумма, равная 3,125, у проекта М-К, - и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и Сол имеют одинаковые суммы (равные 3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл. 2 ниже.

Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что то же самое, по средним арифметическим рангам) имеет вид:

Б < М-К < {Л, Сол} < Д < Стеф < Г-Б < К. (1)

Здесь запись типа "А<Б" означает, что проект А предшествует проекту Б (т.е. проект А лучше проекта Б). Поскольку проекты Л и Сол получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу они эквивалентны, а потому объединены в группу (в фигурных скобках). В терминологии математической статистики ранжировка (1) имеет одну связь.

Метод медиан рангов. Значит, наука сказала свое слово, итог расчетов - ранжировка (1), и на ее основе предстоит принимать решение? Так был поставлен вопрос при обсуждении полученных результатов на заседании Правления фирмы. Но тут наиболее знакомый с современной эконометрикой член Правления вспомнил то, о чем шла речь выше. Он вспомнил, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них неправомерно проводить усреднение методом средних арифметических. Надо использовать метод медиан.

Что это значит? Надо взять ответы экспертов, соответствующие одному из проектов, например, проекту Д. Это ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Затем их надо расположить в порядке неубывания (проще было бы сказать – «в порядке возрастания», но поскольку некоторые ответы совпадают, то приходится использовать непривычный термин «неубывание»). Получим последовательность: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах - шестом и седьмом - стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.

Таблица 2.

Результаты расчетов по методу средних арифметических

и методу медиан для данных, приведенных в таблице 1.

Сумма рангов
Среднее арифметическое рангов
Итоговый ранг по среднему арифметическому
Медианы рангов
Итоговый ранг по медианам

Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл.2. (При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики - как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое упорядочение комиссии экспертов по методу медиан приведено в последней строке таблицы. Ранжировка (т.е. упорядочение - итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам имеет вид:

Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <Г-Б. (2)

Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т.е. с точки зрения математической статистики ранжировка (4) имеет одну связь.

Сравнение ранжировок по методу средних арифметических и методу медиан. Сравнение ранжировок (1) и (2) показывает их близость (похожесть). Можно принять, что проекты М-К, Л, Сол упорядочены как М-К < Л < Сол, но из-за погрешностей экспертных оценок в одном методе признаны равноценными проекты Л и Сол (ранжировка (1)), а в другом - проекты М-К и Л (ранжировка (2)). Существенным является только расхождение, касающееся упорядочения проектов К и Г-Б: в ранжировке (3) Г-Б < К, а в ранжировке (4), наоборот, К < Г-Б. Однако эти проекты - наименее привлекательные из восьми рассматриваемых, и при выборе наиболее привлекательных проектов для дальнейшего обсуждения и использования на указанное расхождение можно не обращать внимания.

Рассмотренный пример демонстрирует сходство и различие ранжировок, полученных по методу средних арифметических рангов и по методу медиан, а также пользу от их совместного применения.

Метод согласования кластеризованных ранжировок. Проблема состоит в выделении общего нестрогого порядка из набора кластеризованных ранжировок (на статистическом языке - ранжировок со связями). Этот набор может отражать мнения нескольких экспертов или быть получен при обработке мнений экспертов различными методами. Предлагается метод согласования кластеризованных ранжировок, позволяющий «загнать» противоречия внутрь специальным образом построенных кластеров (групп), в то время как упорядочение кластеров соответствует одновременно всем исходным упорядочениям.

В различных прикладных областях возникает необходимость анализа нескольких кластеризованных ранжировок объектов. К таким областям относятся прежде всего экология, инженерный бизнес, менеджмент, экономика, социология, прогнозирование, научные и технические исследования и т.д., особенно те их разделы, что связаны с экспертными оценками (см., например, ). В качестве объектов могут выступать образцы продукции, технологии, математические модели, проекты, кандидаты на должность и др. Кластеризованные ранжировки могут быть получены как с помощью экспертов, так и объективным путем, например, при сопоставлении математических моделей с экспериментальными данными с помощью того или иного критерия качества. Описанный ниже метод был разработан в связи с проблемами химической безопасности биосферы и экологического страхования .

В настоящем пункте рассматривается метод построения кластеризованной ранжировки, согласованной (в раскрытом ниже смысле) со всеми рассматриваемыми кластеризованными ранжировками. При этом противоречия между отдельными исходными ранжировками оказываются заключенными внутри кластеров согласованной ранжировки. В результате упорядоченность кластеров отражает общее мнение экспертов, точнее, то общее, что содержится в исходных ранжировках.

В кластеры заключены объекты, по поводу которых некоторые из исходных ранжировок противоречат друг другу. Для их упорядочения необходимо провести новые исследования. Эти исследования могут быть как формально-математическими (например, вычисление медианы Кемени (о ней – ниже), упорядочения по средним рангам или по медианам и т.п.), так и требовать привлечения новой информации из соответствующей прикладной области, возможно, проведения дополнительных научных или прикладных работ.

Введем необходимые понятия, затем сформулируем алгоритм согласования кластеризованных ранжировок в общем виде и рассмотрим его свойства.

Пусть имеется конечное число объектов, которые мы для простоты изложения будем изображать натуральными числами 1,2,3,...,k и называть их совокупность «носителем». Под кластеризованной ранжировкой, определенной на заданном носителе, понимаем следующую математическую конструкцию . Пусть объекты разбиты на группы, которые будем называть кластерами. В кластере может быть и один элемент. Входящие в один кластер объекты будем заключать в фигурные скобки. Например, объекты 1,2,3,...,10 могут быть разбиты на 7 кластеров: {1}, {2,3}, {4}, {5,6,7}, {8}, {9}, {10}. В этом разбиении один кластер {5,6,7} содержит три элемента, другой - {2,3} - два, остальные пять - по одному элементу. Кластеры не имеют общих элементов, а объединение их (как множеств) есть все рассматриваемое множество объектов (весь носитель).

Вторая составляющая кластеризованной ранжировки - это строгий линейный порядок между кластерами . Задано, какой из них первый, какой второй, и т.д. Будем изображать упорядоченность с помощью знака < . При этом кластеры, состоящие из одного элемента, будем для простоты изображать без фигурных скобок. Тогда кластеризованную ранжировку на основе введенных выше кластеров можно изобразить так:

А = [ 1 < {2,3} < 4 < {5,6,7} < 8 < 9 < 10 ] .

Конкретные кластеризованные ранжировки будем заключать в квадратные скобки. Если для простоты речи термин "кластер" применять только к кластеру не менее чем из 2-х элементов, то можно сказать, что в кластеризованную ранжировку А входят два кластера {2,3} и {5,6,7} и 5 отдельных элементов.

Введенная описанным образом кластеризованная ранжировка является бинарным отношением на носителе - множестве {1,2,3,...,10}. Его структура такова. Задано отношение эквивалентности с 7-ю классами эквивалентности, а именно, {2,3}, {5,6,7}, а 5 классов остальные состоят из оставшихся 5 отдельных элементов. Затем введен строгий линейный порядок между классами эквивалентности.

Введенный математический объект известен в литературе как "ранжировка со связями" (М. Холлендер, Д.Вулф), "упорядочение" (Дж. Кемени, Дж. Снелл), "квазисерия" (Б.Г.Миркин), "совершенный квазипорядок" (Ю.А.Шрейдер ). Учитывая разнобой в терминологии, было признано полезным ввести собственный термин "кластеризованная ранжировка", поскольку в нем явным образом названы основные элементы изучаемого математического объекта - кластеры, рассматриваемые на этапе согласования ранжировок как классы эквивалентности, и ранжировка - строгий совершенный порядок между ними (в терминологии Ю.А.Шрейдера ).

Следующее важное понятие - противоречивость . Оно определяется для четверки - две кластеризованные ранжировки на одном и том же носителе и два различных объекта - элементы того же носителя. При этом два элемента из одного кластера будем связывать символом равенства = , как эквивалентные.

Пусть А и В - две кластеризованные ранжировки. Пару объектов (a,b) назовем «противоречивой»относительно кластеризованных ранжировок А и В, если эти два элемента по-разному упорядочены в А и В, т.е. a < b в А и a > b в В (первый вариант противоречивости) либо a >b в А и a < b в В (второй вариант противоречивости). Отметим, что в соответствии с этим определением пара объектов (a,b ), эквивалентная хотя бы в одной кластеризованной ранжировке, не может быть противоречивой: эквивалентность a = b не образует "противоречия" ни с a < b , ни с a > b . Это свойство оказывается полезным при выделении противоречивых пар.

В качестве примера рассмотрим, кроме А , еще две кластеризованные ранжировки

В = [{1,2} < { 3,4, 5} < 6 < 7 < 9 < {8, 10}],

C = .

Совокупность противоречивых пар объектов для двух кластеризованных ранжировок А и В назовем «ядром противоречий»и обозначим S(A,B). Для рассмотренных выше в качестве примеров трех кластеризованных ранжировок А , В и С , определенных на одном и том же носителе {1, 2, 3,..., 10}, имеем

S (A ,B ) = [(8, 9)], S (A ,C) = [(1, 3), (2,4)],

S (B ,C ) = [(1, 3), (2, 3), (2, 4), (5, 6), (8,9)].

Как при ручном, так и при программном нахождении ядра можно в поисках противоречивых пар просматривать пары (1,2), (1,3), (1,4), .... , (1,k ), затем (2,3), (2,4), ..., (2,k ), потом (3,4), ..., (3, k ), и т.д., вплоть до последней пары (k -1, k ).

Пользуясь понятиями дискретной математики, «ядро противоречий» можно изобразить графом с вершинами в точках носителя. При этом противоречивые пары задают ребра этого графа. Граф для S (A ,B ) имеет только одно ребро (одна связная компонента более чем из одной точки), для S (A ,C ) - 2 ребра (две связные компоненты более чем из одной точки), для S (B ,C ) - 5 ребер (три связные компоненты более чем из одной точки, а именно, {1, 2 , 3, 4}, {5, 6} и {8, 9}).

Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей ||x (a ,b )|| из 0 и 1 порядка k x k . При этом x (a ,b ) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b . В первом случае x (b,a ) = 0, а во втором x (b,a ) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x (a,b ) и x (b,a ) равно 1. Из определения противоречивости пары (a, b ) вытекает, что для нахождения всех таких пар достаточно поэлементно перемножить две матрицы ||x (a,b )|| и ||y (a,b )||, соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых x(a,b )y (a,b ) = x (b,a )y (b,a )=0.

Предлагаемый алгоритм согласования некоторого числа (двух или более) кластеризованных ранжировок состоят из трех этапов. На первом выделяются противоречивые пары объектов во всех парах кластеризованных ранжировок. На втором формируются кластеры итоговой кластеризованной ранжировки (т.е. классы эквивалентности - связные компоненты графов , соответствующих объединению попарных ядер противоречий). На третьем этапе эти кластеры (классы эквивалентности) упорядочиваются . Для установления порядка между кластерами произвольно выбирается один объект из первого кластера и второй - из второго, порядок между кластерами устанавливается такой же, какой имеет быть между выбранными объектами в любой из рассматриваемых кластеризованных ранжировок. (Если в одной из исходных кластеризованных ранжировок имеет быть равенство, а в другой – неравенство, то при построении итоговой кластеризованной ранжировки используется неравенство.)

Корректность подобного упорядочивания, т.е. его независимость от выбора той или иной пары объектов, вытекает из соответствующих теорем, доказанных в статье .

Два объекта из разных кластеров согласующей кластеризованной ранжировки могут оказаться эквивалентными в одной из исходных кластеризованных ранжировок (т.е. находиться в одном кластере). В таком случае надо рассмотреть упорядоченность этих объектов в какой-либо другой из исходных кластеризованных ранжировок. Если же во всех исходных кластеризованных ранжировках два рассматриваемых объекта находились в одном кластере, то естественно считать (и это является уточнением к этапу 3 алгоритма), что они находятся в одном кластере и в согласующей кластеризованной ранжировке.

Результат согласования кластеризованных ранжировок А , В , С ,... обозначим f(А, В, С ,...). Тогда

f (А, В ) = ,

f (А, С ) = [{1,3}<{2, 4}<6<{5,7}<8<9<10],

f(В, С ) = [{1,2,3,4}<{5,6}<7<{8,9}<10],

f (А, В, С ) = f (В, С ) = [{1,2,3,4} <{5,6}<7<{8, 9}<10].

Итак, в случае f (А, В ) дополнительного изучения с целью упорядочения требуют только объекты 8 и 9. В случае f (А, С ) кластер {5,7} появился не потому, что относительно объектов 5 и 7 имеется противоречие, а потому, что в обеих исходных ранжировках эти объекты не различаются. В случае f(В , С ) четыре объекта 1,2,3,4 объединились в один кластер, т.е. кластеризованные ранжировки оказались настолько противоречивыми, что процедура согласования не позволила провести достаточно полную декомпозицию задачи нахождения итогового мнения экспертов.

Рассмотрим некоторые свойства алгоритмов согласования.

1. Пусть D = f (А , В , C ,...). Если a в согласующей кластеризованной ранжировке D , то a или a=b в каждой из исходных ранжировок А , В , C , ..., причем хотя бы в одной из них справедливо строгое неравенство.

2. Построение согласующих кластеризованных ранжировок может осуществляться поэтапно. В частности, f (A,B,C ) = f (f (A,B ), f (A ,C ), f (B,C )). Ясно, что ядро противоречий для набора кластеризованных ранжировок является объединением таких ядер для всех пар рассматриваемых ранжировок .

3. Построение согласующих кластеризованных ранжировок нацелено на выделение общего упорядочения в исходных кластеризованных ранжировках. Однако при этом некоторые общие свойства исходных кластеризованных ранжировок могут теряться. Так, при согласовании ранжировок В и С , рассмотренных выше, противоречия в упорядочении элементов 1 и 2 не было - в ранжировке В эти объекты входили в один кластер, т.е. 1 = 2, в то время как 1<2 в кластеризованной ранжировке С . Значит, при их отдельном рассмотрении можно принять упорядочение 1<2. Однако в f (В,C ) они попали в один кластер, т.е. возможность их упорядочения исчезла. Это связано с поведением объекта 3, который "перескочил" в С на первое место и "увлек с собой в противоречие" пару (1, 2), образовав противоречивые пары и с 1, и с 2. Другими словами, связная компонента графа, соответствующего ядру противоречий, сама по себе не всегда является полным графом. Недостающие ребра при этом соответствуют парам типа (1, 2), которые сами по себе не являются противоречивыми, но "увлекаются в противоречие" другими парами.

4. Необходимость согласования кластеризованных ранжировок возникает, в частности, при разработке методики применения экспертных оценок в задачах экологического страхования и химической безопасности биосферы. Как уже говорилось, популярным является метод упорядочения по средним рангам, в котором итоговая ранжировка строится на основе средних арифметических рангов, выставленных отдельными экспертами . Однако из теории измерений известно (см. главу 2.1), что более обоснованным является использование не средних арифметических, а медиан. Вместе с тем метод средних рангов весьма известен и широко применяется, так что просто отбросить его нецелесообразно. Поэтому было принято решение об одновременном применении обеих методов. Реализация этого решения потребовала разработки методики согласования двух указанных кластеризованных ранжировок.

5. Область применения рассматриваемого метода не ограничивается экспертными оценками. Он может быть использован, например, для сравнения качества математических моделей процесса испарения жидкости. Имелись данные экспериментов и результаты расчетов по 8 математическим моделям. Сравнивать модели можно по различным критериям качества. Например, по сумме модулей относительных отклонений расчетных и экспериментальных значений. Можно действовать и по другому: в каждой экспериментальной точке упорядочить модели по качеству, а потом получать единые оценки методами средних рангов и медиан. Использовались и иные методы. Затем применялись методы согласования полученных различными способами кластеризованных ранжировок. В результате оказалось возможным упорядочить модели по качеству и использовать это упорядочение при разработке банка математических моделей, используемого в задачах химической безопасности биосферы.

6. Рассматриваемый метод согласования кластеризованных ранжировок построен в соответствии с методологией теории устойчивости , согласно которой результат обработки данных, инвариантный относительно метода обработки, соответствует реальности, а результат расчетов, зависящий от метода обработки, отражает субъективизм исследователя, а не объективные соотношения.

Основные математические задачи анализа экспертных оценок. Ясно, что при анализе мнений экспертов можно применять самые разнообразные статистические методы, описывать их - значит описывать практически всю прикладную статистику. Тем не менее можно выделить основные широко используемые в настоящее время методы математической обработки экспертных оценок - это проверка согласованности мнений экспертов (или классификация экспертов, если нет согласованности) и усреднение мнений экспертов внутри согласованной группы.

Поскольку ответы экспертов во многих процедурах экспертного опроса - не числа, а такие объекты нечисловой природы, как градации качественных признаков, ранжировки, разбиения, результаты парных сравнений, нечеткие предпочтения и т.д., то для их анализа оказываются полезными методы статистики объектов нечисловой природы.

Почему ответы экспертов часто носят нечисловой характер? Наиболее общий ответ состоит в том, что люди не мыслят числами. В мышлении человека используются образы, слова, но не числа. Поэтому требовать от эксперта ответ в форме чисел - значит насиловать его разум. Даже в экономике предприниматели, принимая решения, лишь частично опираются на численные расчеты. Это видно из условного (т.е. определяемого произвольно принятыми соглашениями, обычно оформленными в виде инструкций) характера балансовой прибыли, амортизационных отчислений и других экономических показателей. Поэтому фраза типа «фирма стремится к максимизации прибыли» не может иметь строго определенного смысла. Достаточно спросить: «Максимизация прибыли - за какой период?» И сразу станет ясно, что степень оптимальности принимаемых решений зависит от горизонта планирования (на экономико-математическом уровне этот сюжет рассмотрен в монографии ).

Эксперт может сравнить два объекта, сказать, какой из двух лучше (метод парных сравнений), дать им оценки типа "хороший", "приемлемый", "плохой", упорядочить несколько объектов по привлекательности, но обычно не может ответить, во сколько раз или на сколько один объект лучше другого. Другими словами, ответы эксперта обычно измерены в порядковой шкале, или являются ранжировками, результатами парных сравнений и другими объектами нечисловой природы, но не числами. Распространенное заблуждение состоит в том, что ответы экспертов стараются рассматривать как числа, занимаются "оцифровкой" их мнений, приписывая этим мнениям численные значения - баллы, которые потом обрабатывают с помощью методов прикладной статистики как результаты обычных физико-технических измерений. В случае произвольности "оцифровки" выводы, полученные в результате обработки данных, могут не иметь отношения к реальности. В связи с "оцифровкой" уместно вспомнить классическую притчу о человеке, который ищет потерянные ключи под фонарем, хотя потерял их в кустах. На вопрос, почему он так делает, отвечает: "Под фонарем светлее". Это, конечно, верно. Но, к сожалению, весьма малы шансы найти потерянные ключи под фонарем. Так и с "оцифровкой" нечисловых данных. Она дает возможность имитации научной деятельности, но не возможность найти истину.

Проверка согласованности мнений экспертов и классификация экспертных мнений. Ясно, что мнения разных экспертов различаются. Важно понять, насколько велико это различие. Если мало - усреднение мнений экспертов позволит выделить то общее, что есть у всех экспертов, отбросив случайные отклонения в ту или иную сторону. Если велико - усреднение является чисто формальной процедурой. Так, если представить себе, что ответы экспертов равномерно покрывают поверхность бублика, то формальное усреднение укажет на центр дырки от бублика, а такого мнения не придерживается ни один эксперт. Из сказанного ясна важность проблемы проверки согласованности мнений экспертов.

Разработан ряд методов такой проверки. Статистические методы проверки согласованности зависят от математической природы ответов экспертов. Соответствующие статистические теории весьма трудны, если эти ответы - ранжировки или разбиения, и достаточно просты, если ответы - результаты независимых парных сравнений. Отсюда вытекает рекомендация по организации экспертного опроса: не старайтесь сразу получить от эксперта ранжировку или разбиение, ему трудно это сделать, да и имеющиеся математические методы не позволяют далеко продвинуться в анализе подобных данных. Например, рекомендуют проверять согласованность ранжировок с помощью коэффициента ранговой конкордации Кендалла-Смита. Но давайте вспомним, какая статистическая модель при этом используется. Проверяется нулевая гипотеза, согласно которой ранжировки независимы и равномерно распределены на множестве всех ранжировок. Если эта гипотеза принимается, то конечно, ни о какой согласованности мнений экспертов говорить нельзя. А если отклоняется? Тоже нельзя. Например, может быть два (или больше) центра, около которых группируются ответы экспертов. Нулевая гипотеза отклоняется. Но разве можно говорить о согласованности?

Эксперту гораздо легче на каждом шагу сравнивать только два объекта. Пусть он занимается парными сравнениями. Непараметрическая теория парных сравнений (теория люсианов) позволяет решать более сложные задачи, чем статистика ранжировок или разбиений. В частности, вместо гипотезы равномерного распределения можно рассматривать гипотезу однородности, т.е. вместо совпадения всех распределений с одним фиксированным (равномерным) можно проверять лишь совпадение распределений мнений экспертов между собой, что естественно трактовать как согласованность их мнений. Таким образом, удается избавиться от неестественного предположения равномерности.

При отсутствии согласованности экспертов естественно разбить их на группы сходных по мнению. Это можно сделать различными методами статистики объектов нечисловой природы, относящимися к кластер-анализу, предварительно введя метрику в пространство мнений экспертов. Идея американского математика Джона Кемени об аксиоматическом введении метрик (см. ниже) нашла многочисленных продолжателей. Однако методы кластер-анализа обычно являются эвристическими. В частности, невозможно с позиций статистической теории обосновать "законность" объединения двух кластеров в один. Имеется важное исключение - для независимых парных сравнений (люсианов) разработаны методы, позволяющие проверять возможность объединения кластеров как статистическую гипотезу . Это - еще один аргумент за то, чтобы рассматривать теорию люсианов как ядро математических методов экспертных оценок .

Нахождение итогового мнения комиссии экспертов. Пусть мнения комиссии экспертов или какой-то ее части признаны согласованными. Каково же итоговое (среднее, общее) мнение комиссии? Согласно идее Джона Кемени следует найти среднее мнение как решение оптимизационной задачи . А именно, надо минимизировать суммарное расстояние от кандидата в средние до мнений экспертов. Найденное таким способом среднее мнение называют "медианой Кемени".

Математическая сложность состоит в том, что мнения экспертов лежат в некотором пространстве объектов нечисловой природы. Общая теория подобного усреднения построена в ряде работ, в частности, показано, что в силу обобщения закона больших чисел среднее мнение при увеличении числа экспертов (чьи мнения независимы и одинаково распределены) приближается к некоторому пределу, который естественно назвать математическим ожиданием (случайного элемента, имеющего то же распределение, что и ответы экспертов).

В конкретных пространствах нечисловых мнений экспертов вычисление медианы Кемени может быть достаточно сложным делом. Кроме свойств пространства, велика роль конкретных метрик. Так, в пространстве ранжировок при использовании метрики, связанной с коэффициентом ранговой корреляции Кендалла, необходимо проводить достаточно сложные расчеты, в то время как применение показателя различия на основе коэффициента ранговой корреляции Спирмена приводит к упорядочению по средним рангам.

Бинарные отношения и расстояние Кемени. Как известно, бинарное отношение А на конечном множестве Q = {q 1 , q 2 ,..., q k } - это подмножество декартова квадрата Q 2 = {(q m , q n), m,n = 1,2,…,k} . При этом пара (q m , q n) входит в А тогда и только тогда, когда между q m и q n имеется рассматриваемое отношение.

Напомним, что каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать квадратной матрицей ||x(a,b) || из 0 и 1 порядка k x k . При этом x(a b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b . В первом случае x(b a) = 0, а во втором x(b a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a b) и x(b,a) равно 1.

В экспертных методах используют, в частности, такие бинарные отношения, как ранжировки (упорядочения, или разбиения на группы, между которыми имеется строгий порядок), отношения эквивалентности, толерантности (отношения сходства). Как следует из сказанного выше, каждое бинарное отношение А можно описать матрицей || a(i,j) || из 0 и 1, причем a(i,j) = 1 тогда и только тогда, когда qi и qj находятся в отношении А , и a(i,j) = 0 в противном случае.

Определение. Расстоянием Кемени между бинарными отношениями А и В, описываемыми матрицами ||a(i,j) || и ||b(i,j) || соответственно, называется число

D (A, B) = ∑ │a(i,j) - b(i,j) │,

где суммирование производится по всем i,j от 1 до k , т.е. расстояние Кемени между бинарными отношениями равно сумме модулей разностей элементов, стоящих на одних и тех же местах в соответствующих им матрицах.

Легко видеть, что расстояние Кемени - это число несовпадающих элементов в матрицах ||a(i,j) || и ||b(i,j) ||.

Расстояние Кемени основано на некоторой системе аксиом. Эта система аксиом и вывод из нее формулы для расстояния Кемени между упорядочениями содержится в книге , которая сыграла большую роль в развитии в нашей стране такого научного направления, как анализ нечисловой информации . В дальнейшем под влиянием Кемени были предложены различные системы аксиом для получения расстояний в тех или иных нужных для социально-экономических исследований пространствах, например, в пространствах множеств .

Медиана Кемени и законы больших чисел. С помощью расстояния Кемени находят итоговое мнение комиссии экспертов. Пусть А 1 , А 2 , А 3 ,…, А р - ответы р экспертов, представленные в виде бинарных отношений. Для их усреднения используют т.н. медиану Кемени

Arg min ∑ D (A i ,A) ,

где Arg min - то или те значения А , при которых достигает минимума указанная сумма расстояний Кемени от ответов экспертов до текущей переменной А , по которой и проводится минимизация. Таким образом,

∑ D (A i ,A) = D (A 1 ,A) + D (A 2 ,A) + D (A 3 ,A) +…+ D (A р,A) .

Кроме медианы Кемени, используют среднее по Кемени, в котором вместо D (A i ,A) стоит D 2 (A i ,A) .

Медиана Кемени - частный случай определения эмпирического среднего в пространствах нечисловой природы . Для нее справедлив закон больших чисел, т.е. эмпирическое среднее приближается при росте числа составляющих (т.е. р - числа слагаемых в сумме), к теоретическому среднему:

Arg min ∑ D (A i ,A) → Arg min М D (A 1 , A) .

Здесь М - символ математического ожидания. Предполагается, что ответы р экспертов А 1 , А 2 , А 3 ,…, А р есть основания рассматривать как независимые одинаково распределенные случайные элементы (т.е. как случайную выборку) в соответствующем пространстве произвольной природы, например, в пространстве упорядочений или отношений эквивалентности. Систематически эмпирические и теоретические средние и соответствующие различные варианты законов больших чисел изучены в ряде работ (см., например, ).

Законы больших чисел показывают, во-первых, что медиана Кемени обладает устойчивостью по отношению к незначительному изменению состава экспертной комиссии; во-вторых, при увеличении числа экспертов она приближается к некоторому пределу. Его естественно рассматривать как истинное мнение экспертов, от которого каждый из них несколько отклонялся по случайным причинам.

Рассматриваемый здесь закон больших чисел является обобщением известного в статистике "классического" закона больших чисел. Он основан на иной математической базе - теории оптимизации, в то время как "классический" закон больших чисел использует суммирование. Упорядочения и другие бинарные отношения нельзя складывать, поэтому приходится применять иную математику.

Вычисление медианы Кемени - задача целочисленного программирования. В частности, для ее нахождения используется различные алгоритмы дискретной математики, в частности, основанные на методе ветвей и границ. Применяют также алгоритмы, основанные на идее случайного поиска, поскольку для каждого бинарного отношения нетрудно найти множество его соседей.

Рассмотрим пример вычисления медианы Кемени. Пусть дана квадратная матрица (порядка 9) попарных расстояний для множества бинарных отношений из 9 элементов А 1 , А 2 , А 3 ,..., А 9 (см. табл.3). Найти в этом множестве медиану для множества из 5 элементов {А 2 , А 4 , А 5 , А 8 , А 9 }.

Таблица 3.

Матрица попарных расстояний

В соответствии с определением медианы Кемени следует ввести в рассмотрение функцию

С (А ) = ∑ D(A i ,A) = D(A 2 ,A)+D(A 4 ,A)+D(A 5 ,A)+D(A 8 ,A)+D(A 9 ,A),

С (А 1 ) = D (A 2 ,A 1) + D (A 4 ,A 1) + D (A 5 ,A 1) +D (A 8 ,A 1) + D (A 9 ,A 1) =

= 2 + 1 +7 +3 +11 = 24,

С (А 2 ) = D (A 2 ,A 2) + D (A 4 ,A 2) + D (A 5 ,A 2) +D (A 8 ,A 2) + D (A 9 ,A 2) =

= 0 + 6 + 1 + 5 + 1 = 13,

С (А 3 ) = D (A 2 ,A 3) + D (A 4 ,A 3) + D (A 5 ,A 3) +D (A 8 ,A 3) + D (A 9 ,A 3) =

= 5 + 2 + 2 + 5 +7 = 21,

С (А 4 ) = D (A 2 ,A 4) + D (A 4 ,A 4) + D (A 5 ,A 4) +D (A 8 ,A 4) + D (A 9 ,A 4) =

= 6 + 0 + 5 + 8 + 8 = 27,

С (А 5 ) = D (A 2 ,A 5) + D (A 4 ,A 5) + D (A 5 ,A 5) +D (A 8 ,A 5) + D (A 9 ,A 5) =

= 1 + 5 + 0 +3 + 7 = 16,

С (А 6 ) = D (A 2 ,A 6) + D (A 4 ,A 6) + D (A 5 ,A 6) +D (A 8 ,A 6) + D (A 9 ,A 6) =

= 3 + 4 + 10 + 1 + 5 = 23,

С (А 7 ) = D (A 2 ,A 7) + D (A 4 ,A 7) + D (A 5 ,A 7) +D (A 8 ,A 7) + D (A 9 ,A 7) =

= 2 + 3 +1 + 6 + 3 = 15,

С (А 8 ) = D (A 2 ,A 8) + D (A 4 ,A 8) + D (A 5 ,A 8) +D (A 8 ,A 8) + D (A 9 ,A 8) =

= 5 + 8 + 3 + 0 +9 = 25,

С (А 9 ) = D (A 2 ,A 9) + D (A 4 ,A 9) + D (A 5 ,A 9) +D (A 8 ,A 9) + D (A 9 ,A 9) =

= 1 + 8 + 7 + 9 + 0 = 25.

Из всех вычисленных сумм наименьшая равна 13, и достигается она при А=А 2 , следовательно, медиана Кемени - это множество {А 2 }, состоящее из одного элемента А 2 .

Предыдущая