Группа подстановок, подстановка п числа, композиция, группа симметрии фигуры. Возведение в степень: правила, примеры Подстановка степени n

Взаимно однозначное отображение на себя (или преобразование) конечного множества N = { 1, 2, 3, п} первых п натуральных чисел называют подстановкой п чисел (или подстановкой n-d степени). Подстановку принято записывать в виде заключенных в круглые скобки двух строк чисел. Например, взаимно однозначное соответствие натуральных чисел 1, 2 и 3, заданное множеством {(2, 3), (1, 2), (3, 1)} упорядоченных пар) записывают в виде подстановки р третьей степени (2 1 3 \ Р=13 2 1 J" в которой 2 переходит в 3, 1 - в 2 и 3 - в 1. Поскольку отображение не изменится при изменении порядка расположения упорядоченных пар, одну и ту же подстановку можно представить в нескольких формах: Предпочтительнее запись, при которой числа в верхней строке расположены в естественном порядке. Тогда подста- новка 71-и степени принимает вид (4.19) где t"i, t"2, in -расположенные в некотором определенном порядке первые п натуральных чисел. Каждое изменение их расположения будет задавать новую подстановку, а общее число подстановок n-й степени совпадет с числом п! перестановок первых п элементов множества N в нижней строке (4.19). Тождественная подстановка n-й степени переводит каждое число в себя и может быть записана в виде (4.20) Композицией p2°Pi подстановок п-й степени pi и Рз называют подстановку n-й степени p = pipi} которая является результатом последовательного выполнения отображения, сперва задаваемого рi, а затем задаваемого />2. Композицию подстановок записывают в виде их произведения, но взятых в обратном порядке, причем pip? фрър\. Например, для подстановок Ясно, что если р - подстановка n-й степени, то т.е. еп выполняет роль нейтрального элемента относительно закона композиции отображений. Если строки подстановки р в (4.19) поменять местами, то получим подстановку обратную к подстановке р и обладающую свойством т.е. р"1 выполняет роль симметричного для р элемента относительно закона композиции отображений. Таким образом, множество Р из п! подстановок n-й степени образует мультипликативную группу (см. табл. 4.1) относительно этого закона, который в данном случае играет роль мультипликативного закона (ассоциативного, но не коммутативного). Множество Р называют группой подстановок n-й степени. Поскольку при записи в виде (4.19) первая строка неизменна, подстановку n-й степени можно задать лишь второй строкой: Группа подстановок подстановка п числа композиция группа симметрии фигуры т.е. перестановкой первых п элементов множества N. Бели в такой перестановке поменять местами любые два числа (не обязательно стоящие рядом), а остальные оставить на своих местах, то получим новую перестановку. Это преобразовал ние называют транспозицией перестановки. Два числа образуют инверсию в перестановке, когда меньшее из них расположено правее большего (или, как говорят, большее число в перестановке встречается раньше меньшего). Перестановку наг зывают четной, если общее число инверсий в ее строке четное, и нечетной - в противном случае. Для подсчета общего числа инверсий в некоторой перестаг новке из п элементов последовательно сравнивают каждый элемент, начиная с первого слева, со всеми, следующими за ним, g определяют количество стоящих правее его меньших чисел. Это дает число инверсий данного элемента. Полученные таким образом п-1 чисел складывают. Пример 4.12. а. Перестановка (1, 2, ..., п) четная при любом п, так как число инверсий в ней равно нулю. б. Перестановка () содержит 14 инверсий и поэтому четная. в. Перестановка () содержит 17 инверсий и поэтому нечетная. Теорема 4.7. Любая транспозиция меняет четность перестановки. Рассмотрим сначала случай, когда переставляемые числа г и j стоят рядом, т.е. перестановка исходная и перестановка, полученная транспозицией, имеют вид где многоточия заменяют те числа, которые не затрагивает данная транспозиция. В обеих перестановках каждое из чисел t, j составляет одни и те же инверсии с числами, которые остаются на своих местах. Если числа г и в исходной перестановке не образовывали инверсии, то после транспозиции возникнет одна новая инверсия. Бели же эти числа в исходной перестановке образовывали инверсию, то после транспозиции она исчезнет, т.е. общее количество инверсий станет на одну меньше. В обоих случаях четность перестановки меняется. Пусть теперь между переставляемыми числами г и j расположены т чисел (т 6 N), т.е. исходная перестановка имеет вид Переставить местами «ела i и j можно в результате последовательной смены мест соседних чисел, выполнив 2т +1 шагов (переставим t с klf затем t, стоящее уже на месте A?i, с и т.д., пока г за т шагов не займет место кт и не станет рядом с j; затем поменяем местами i и У, и, наконец, еще m шагов уйдет на то, чтобы последовательно j переставить с кт-1 и т.д., после чего j займет место i, а числа к кт сохранят свои места). При зтом четность перестановки меняется нечетное число (2т+ 1) раз. Поэтому перестановки (4.21) и имеют противоположные четности. Рассмотрим запись подстановки (4.19). Перестановки, составляющие ее верхнюю и нижнюю строки, могут иметь или одинаковые, или противоположные четности. Переход к любой другой записи можно осуществить путем последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Однако совершая одну транспозицию в верхней строке (4.19) и одну транспозицию соответствующих элементов в нижней строке, мы одновременно меняем четности обеих перестановок и поэтому сохраняем совпадение или противоположность их четностей. Отсюда следует, что при любой записи подстановки четности верхней и нижней строк либо совпадают, либо противоположны. Группа подстановок подстановка п числа композиция группа симметрии фигуры Определение 4.10. Подстановку называют четной, если перестановки в ее обеих строках имеют одинаковую четность, и нечетной - если противоположную. Ясно, что тождественная подстановка (4.20) является четной, а четность подстановки, задаваемой в виде (4.19), совпадает с четностью перестановки в ее нижней строке. Сказанное выше можно обобщить применительно к взаимно однозначному отображению на себя (преобразованию) любого конечного множества Е- {ni, 02, an} (не обязательна числового), если пронумеровать его элементы первыми п натуральными числами. Пример 4.13. Пусть - вершины равностороннего треугольника (рис. 4.5). ^Гогда множество Р из п! = 3! = 6 подстановок где «ь »2, «з - расположенные в некотором порядке три натуральных числа 1, 2, 3, описывает группу рис. 4,5 симметрий этого треугольника, т.е. таких перемещений треугольника в плоскости, при которых он совпадает с самим собой. Тождественная подстановка е, когда, оставляет треугольник на месте. При (четные подстановки а и 0) происходит поворот треугольника против часовой стрелки относительно точки О соответственно на углы а = =3 (см. рис. 4.5). При (нечетная подстановка q) треугольник поворачивается вокруг оси симметрии OA. Повороты вокруг осей симметрии ОВ и ОС задают нечетные подстановки г и з соответственно при 4 = 3, «2 = 2, «з = 1 и «1 = 2, «2=1, «З = 3. Произведение pip? любых из этих подстановок также задает одну из операций совмещения треугольника (например, qr = /?). В левом столбце и верхней строке табл. 4.2 помещены обозначения подстановок р\ и р2 соответственно, а на остальных местах - произведения pip? этих подстановок. В каждой строке и в каждом столбце табл. 4.2 присутствует тождественная подстановка е, т.е. всякая операция имеет симметричную (или обратную), причем для операции поворота относительно любой оси симметрии (и, разумеется, для тождественной операции) обратной является сама эта операция. Таблица несимметрична относительно своей главной диагонали (проходящей через верхний левый и правый нижний элементы), что еще раз показывает, что произведение подстановок некоммутативно. Рассмотренное множество Р подстановок называют также группой симметрии фигуры (в данном случае равностороннего треугольника). Аналогично можно построить группу симметрий любого другого геометрического объекта как совокупность всех преобразований метрического пространства, совмещающих его с ним самим (например, группу симметрий квадрата, куба, тетраэдра и т.п.). Именно с таких позиций Е.С. Федоров в 1890 г. построил классификацию правильных пространственных систем точек применительно к кристаллографии. Это было исторически первое приложение теории групп непосредственно в естествознании. Вопросы и задачи 4.1. Проверить, обладает ли закон композиции (операция) т свойствами ассоциативности и коммутативности на множестве Е: где НОД - наибольший общий делитель двух натуральных чисел. 4.2. Установить, какие алгебраические структуры образуются следующими числовыми множествами относительно указанных законов композиции: а) одно из множеств относительно сложения и относительно умножения; б) множество всех четных чисел относительно сложения и умножения; в) множество степеней заданного действительного числа аф Ос целыми показателями относительно умножения; г) множество всех комплексных корней заданной степени п € N из единицы относительно умножения; д) множество комплексных корней всех степеней п € 14 из единицы относительно умножения; е) множества комплексных чисел с заданным модулем г € R относительно умножения; ж) множество комплексных чисел с модулем, не превосходящим заданное число R ф 0, относительно сложения и относительно умножения; з) множество комплексных чисел с ненулевым модулем, расположенных на лучах, выходящих из начала координат и образующих с осью Ох углы y>2i » ¥>m относительно умножения. и) множество Р(Е) всех подмножеств некоторого множества Е относительно операций симметрической разности и пересечения и относительно каждой из них в отдельности. 4.3. На множестве Е = {о, 6, с} одной из таблиц задан закон композиции т. Для каждого из этих законов определить его свойства, указать нейтральный элемент и пары симметричных элементов (если они существуют), установить тип алгебраической структуры. 4.4. На множестве Е = {о, 6, с} при помощи таблиц заданы аддитивный (+) и мультипликативный (*) законы композиции. Для каждого из этих законов определить его свойства, указать нейтральный элемент и пары симметричных элементов (если они существуют). Какую алгебраическую структуру образует множество Е относительно каждого из заданных законов и какую - относительно обоих законов? Какой смысл приобретают эти законы в числовом множестве, если положить а = 1, 6 = 2, с = 3 ? 4.5. На множестве Е= {0, 1, ру д} при помощи таблиц заданы аддитивный (+) и мультипликативный (*) законы композиции. Для каждого из этих законов определить его свойства, указать нейтральный элемент и пары симметричных элементов (если они существуют). Какую алгебраическую структуру образует множество Е относительно каждого из заданных законов и какую - относительно обоих законов? 4.6. Доказать свойства операций сложения и умножения комплексных чисел. 4.7. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел: 4.8. Доказать равенства: Группа подстановок подстановка п числа композиция группа симметрии фигуры 4.9. Доказать, что | £ С. При каких условиях эти неравенства переходят в равенства? 4.10. Найти все комплексные числа, сопряженные к своему а) квадрату и б) кубу. 4.11. Пусть на комплексной плоскости заданы три точки zlf z3. 1. Найти точку г, определяющую положение центра масс системы материальных точек с массами mi, т2) тз, расположенных в заданных трех точках. При каком условии центр масс будет в начале координат? 2. Заданные точки являются вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан. При каком условии она будет в начале координат? 3. Заданные точки являются тремя вершинами А\% А2у параллелограмма. Найти его четвертую вершину Л4, Противолежащую А2. При каком условии она будет в начале координат? 4. При каком условии заданные точки лежат на одной прямой? 5. Найти центр окружности, проходящей через заданные точки. При каком условии он будет в начале координат? 6. Как расположены заданные точки, если |zi| = \z2\ = = 1*з| ф 0 и zi + z2 + г3 = 0? 4.12. Найти множество точек комплексной плоскости, заданных условием: 4.13. Доказать равенства: а 4.14. Верно ли равенство (* 4.15. Найти произведение всех корней степени п € N из единицы. 4.16. Является ли число (2 + i)/(2-«) корнем некоторой степени из единицы? 4.17. Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум другим вершинам соответствуют числа z\ и 23. 4.18. Найти комплексные числа, соответствующие верши-вам правильного n-угольника, если двум его соседним вершинам соответствуют числа z\ и 22 4.19. Доказать, что целые нули многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена (коэффициента ап), и найти целые нули многочленов: 4.20. Доказать, что каждый многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный нуль. 4.21. Найти многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, нулями которого являются: а) 3 и 2-i; б) t (корень кратности 2) и -1-i; в) 0, 1, i. 4.22. Найти: а) многочлен с нулями х\ при условии, что числа a?i, Х2 и а?з являются нулями многочлена х3 -х2 -1; б) значение а, при котором нули многочлена х3-1-х2 + 2а:+а образуют геометрическую прогрессию; в) сумму квадратов и сумму кубов нулей многочлена 8а:4 -- 5®2 + 2« + 1; г) сумму всех коэффициентов многочлена: 1) ; д) многочлен Р(х) наименьшей степени по условию: Найти четность подстановок: 4.24. Записать группу симметрий квадрата, найти четность каждой подстановки из этой группы, построить таблицу, аналогичную табл. 4.2, и проанализировать ее.

Цель: рассмотреть понятие подстановки, тождественной подстановки,

объяснить, как выполняются действия умножения подстановок, нахождения обратной подстановки,

перечислить свойства произведения подстановок,

рассмотреть понятия инверсии, четности-нечетности подстановок

показать, как подстановки применяются в тайнописи

Получил как-то Фома от одного из своих друзей телеграмму. Эта телеграмма была какой-то странной. Вот что в ней было написано: «йажзеирпончорс медж».

Сможете ли вы "прочитать" этот текст? Фома же, немного подумав, понял секрет этой телеграммы. Его приглашали в гости. Он решил ответить в том же духе. Сочинил ответную телеграмму и зашифровал ее таким же способом. Получилась запись из двух строк:

"приеду в субботу встречайте",

""етйачертсвутоббусвудеирп"".

После окончания шифровки Фома захотел всю свою переписку с другом вести только зашифрованными текстами, меняя время от времени способ шифровки. Поэтому он рьяно взялся за разработку метода шифрования.

Буквы исходного текста он решил заменять номерами позиций, которые занимают эти буквы. Вот какой список номеров получил Фома для телеграммы друга:

(1, 2, 3, ... , 18).

Затем он заметил, что зашифрованный текст отличается от исходного только измененным порядком буки. Как изменяется порядок букв, легко увидеть с помощью тех же номеров позиций. Например, зашифрованный текст телеграммы друга Фома теперь смог представлять и виде списка:

(18, 17, 16, . . . , 3, 2, 1).

Сопоставление этих двух списков дает ключ к шифровке текста:

Символьная запись читается так: «1 переходит в 18» . Вместо нее часто используется другая запись: .

Направление стрелок определяет порядок шифровки текста. Например, буква, стоящая в шифруемом тексте в первой позиции, должна занять в зашифрованном тексте 18-ю позицию.

Если направление стрелок сменить на противоположное, то та же двухстрочная таблица будет определять порядок расшифровки текста. Например, буква, стоящая в зашифрованном тексте в 18-й позиции, должна занять в расшифрованном тексте первую позицию.

Наконец, если первая строка будет всегда связана с исходным текстом, то отпадет необходимость в использовании стрелок. (При шифровке исходным текстом является шифруемый текст, а при расшифровке – зашифрованный).

Поняв все это, Фома быстро записал ключ ко 2-ой шифровке своей телеграммы:

Осталось только сообщить каким-либо образом этот ключ своему другу, и тайна переписки гарантирована!

Если идеи Фомы вы поняли, то вот вам зашифрованное любимое его изречение:

"водянойпероревряй".

Оно зашифровано ключом:

Ключ к шифровке:

«Доверяй, но проверяй!»

Вы, вероятно, уже догадываетесь, что шифровальных ключей подобного вида можно придумать очень много. Каждый из них можно представить в виде двухстрочной таблицы:

Здесь в верхней строке стоят все натуральные числа от 1 до п в возрастающем порядке. Нижняя строка получается некоторой перестановкой чисел из верхней строки. Вся таблица в целом называется подстановкой порядка п .

Рассмотрим множество , где , каждый элемент в которой представлен только один раз. Тогда взаимно-однозначное отображение множества на себя называется подстановкой степени п .

Множество подстановок п -й степени обозначается .

Отношение бинарное, поэтому подстановки принято записывать в виде двухрядной матрицы, в первой строке которой записаны прообразы, а во второй – их образы:

Если прообразы (аргументы) расположены в порядке возрастания (при то запись подстановки такого вида называют канонической . Если аргументы не записаны в порядке возрастания, то, переставляя столбцы (при этом сама подстановка не меняется, а изменяется лишь порядок произношения соответствий), можно верхнюю строку привести к упорядоченному виду:

По возможности будем пользоваться именно канонической записью. Такая запись встречалась, когда мы записывали перестановку из п элементов. Отметим, что прообразом перестановки служит произвольное конечное множество, а прообразом подстановки – обязательно .

Найдем число возможных различных подстановок степени п . Поскольку каждой канонической записи подстановки эквивалентна соответствующая перестановка, то число подстановок п -й степени равна числу перестановок из п элементов, т. е. множество состоит из элементов.

Вернемся к Фоме. С помощью подстановки-ключа

он зашифровал сообщение, состоящее из одного слова, и отправил его другу. Нерасшифрованное сообщение тот зашифровал еще раз, но уже с помощью другого ключа

Получившееся дважды шифрованное сообщение он адресовал вам: "сноас".

Расшифруйте это сообщение. , «сосна »

Процесс расшифровки вы можете провести значительно быстрее, если будете знать, как над подстановками выполняется одна алгебраическая операция. Эта операция называется умножением подстановок. (При желании вы можете назвать ее по-другому, ибо она никак не связана с обычным умножением чисел).

Рассмотрим на примере, как она выполняется. Умножим подстановки, с помощью которых шифровалось сообщение Фоме:

Процедура умножения сводится к последовательному проведению подстановок.

В первой подстановке (А ): 1 → 5;

во второй подстановке (В) : 5 → 1;

В итоге получаем: 1 → 1.

Аналогично, из "2 → 2" и "2 → 3" следует: "2 → 3". Проведя еще три рассуждения такого типа, получим подстановку-произведение

Используя подстановку АВ как шифратор, вы можете теперь в один прием расшифровать сообщение Фомы "сноас". Заодно проконтролируете себя.(ВА = «насос »)

Если вам будет интересно, то можете придумать свои подстановки-шифраторы сообщений и вести тайную переписку с друзьями.

Занимаясь расшифровкой сообщений, вы познакомились с алгебраической операцией над новыми объектами подстановками. Если кого-то из вас заинтересовали не только шифровки, но и сами по себе подстановки, то вы можете лучше познакомиться с ними, выполнив следующие задания.

ЗАДАНИЕ 1 . Найдите произведения подстановок:

ЗАДАНИЕ 2. Найдите произведение ВА подстановок А иВ, рассмотренных выше. Используя подстановку ВА как шифратор, расшифруйте еще раз сообщение "сноас". Сравните результат с результатом предыдущей расшифровки. После этого вы сможете сказать, обладает ли умножение подстановок свойством коммутативности.

Пусть заданы две подстановки и , причем

Определение . Всякое взаимно однозначное отображение множества А первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n -й степени , причем, очевидно, всякая подстановка А может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой

Через α i здесь обозначается то число, в которое при подстановке А переходит число i , i = 1, 2, …, n .

Запишем одну под другой две перестановки из n символов, беря полученные две строки в скобки; например, n=5:

Мы скажем, что число 3 переходит в число 5, число 5 переходит в 2, число 1 переходит в 3, число 4 переходит в 4(или остаётся на месте), и, наконец, число 2 переходит в 1. Таким образом, две перестановки, записанные друг под другом в виде (2), определяют некоторое взаимно однозначное отображение множества из первых пяти натуральных чисел на себя, т. е. отображение, которое каждому из натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 ставит в соответствие одно из этих же натуральных чисел, причем разным числам ставятся в соответствие различные же числа.

Ясно, что то взаимно однозначное отображение множества их первых пяти натуральных чисел, которые мы получили при помощи (2), можно было получить, записывая одну под другой и некоторые другие пары перестановок из пяти символов. Эти записи получаются из (2) путем нескольких транспозиций (перестановок) столбиков; таковы, например,

Во всех этих записях 3 переходит в 5, 5 в 2 и т. д.

Подстановка А обладает многими различными записями вида (1). Так, (2) и (3) являются различными записями одной и той же подстановки 5-й степени.

Канонический вид подстановки

В частности, всякая подстановка n-й степени А может быть записана в каноническом виде

т. е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки отличаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке.

Примером подстановки n-й степени служит тождественная подстановка

при котором на месте остаются все символы.

Замечание . Следует заметить, что верхняя и нижняя строки в записи (1) подстановки А играют разные роли и, переставив их, мы, вообще говоря, получаем другую подстановку.

Цикловая структура подстановки

Подстановка вида

(При этом все числа i 1 , i 2 , …, i m - различны)

называется циклом длины m.

Для циклов вводят специальное обозначение:

Пример 1.

Цикл (2 3 4 1) действует следующим образом

Теорема. Каждую подстановку можно разложить в произведение независимых циклов. Это разложение единственно с точностью до порядка циклов.

Алгоритм составления цикла:

1.Берем подстановку, смотрим, во что переходит первый элемент.

2.Полученный элемент пишем за первым элементом и находим его образ под действием подстановки.

3. Как только образ совпадает с элементом, с которого началось построение цикла, закрываем цикл.

Пример 2.

Разложить подстановку

в произведение независимых циклов.

Решение.

Так как , то получаем цикл (135). Цепочка 2→4→2 дает транспозицию (24). Так же 6→8→6 дает транспозицию (68). 7 остается на месте.

Через α i здесь обозначается то число, в которое при подстановке А переходит число i , i = 1, 2, …, n .

Запишем одну под другой две перестановки из n символов, беря полученные две строки в скобки; например, n=5:

Во всех этих записях 3 переходит в 5, 5 в 2 и т. д.

Канонический вид подстановки

В частности, всякая подстановка n-й степени А может быть записана в каноническом виде

Примером подстановки n-й степени служит тождественная подстановка

при котором на месте остаются все символы.

Цикловая структура подстановки

Подстановка вида

(При этом все числа i 1 , i 2 , …, i m - различны)

называется циклом длины m.

Для циклов вводят специальное обозначение:

Пример 1.

Цикл (2 3 4 1) действует следующим образом

Алгоритм составления цикла:

1.Берем подстановку, смотрим, во что переходит первый элемент.

2.Полученный элемент пишем за первым элементом и находим его образ под действием подстановки.

3. Как только образ совпадает с элементом, с которого началось построение цикла, закрываем цикл.

Пример 2.

Разложить подстановку

в произведение независимых циклов.

Решение.

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0 , 5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите - 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

Пример 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а - любое число, а z - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Пример 6

Возведите 2 в степень - 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 - 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Пример 7

Возведите 1 , 43 в степень - 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) - 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) - 2 = 10000 20449

Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a - 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример 8

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите 8 - 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

После этого извлечем корень 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и результат возведем в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n < 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367....

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Группа подстановок, подстановка п числа, композиция, группа симметрии фигуры. Возведение в степень: правила, примеры Подстановка степени n

Канонический вид подстановки

Цикловая структура подстановки

Канонический вид подстановки

Цикловая структура подстановки

Понятие возведения в степень

Как возвести число в дробную степень

Как возвести число в иррациональную степень

Последние

Это нужно знать